针对您提出的“邻居家的枯树不肯砍怎么办”的问题，以下是我的分析和建议：

1. 法律背景与责任分析：

   • 根据《民法典》的相关规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。若邻居家的枯树存在倒塌、折断等安全隐患，可能对您的财产或人身安全构成威胁，那么邻居作为树木的所有者或管理者，有义务采取必要的措施，如砍伐或加固，以消除安全隐患。
   • 若邻居未履行此义务，导致您遭受损失，您有权要求邻居承担相应的赔偿责任。

2. 协商与沟通：

   • 第一步：建议您首先尝试与邻居进行友好协商，明确表达您的担忧和诉求，即希望邻居能够砍伐枯树以消除安全隐患。在协商过程中，可以提出共同承担砍伐费用或寻找其他解决方案的建议。
   • 注意事项：在协商时，保持冷静和理性，避免情绪化的言辞或行为，以免加剧矛盾。

3. 寻求第三方协助：

   • 居委会或物业介入：如果协商无果，您可以向所在社区的居委会或物业管理公司反映情况，请求他们协助调解。这些机构通常具有调解邻里纠纷的经验和资源，可能能够更有效地解决问题。
   • 行政投诉：若居委会或物业无法解决问题，您还可以考虑向当地的城管部门或园林绿化部门投诉，请求他们介入处理。这些部门有权对存在安全隐患的树木进行强制处理。

4. 法律途径：

   • 起诉要求排除妨碍：如果上述方法均无法解决问题，且枯树确实对您的财产或人身安全构成了严重威胁，您可以考虑向法院提起诉讼，要求邻居排除妨碍（即砍伐枯树）。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明枯树存在安全隐患以及该隐患对您造成的实际影响。
   • 注意诉讼时效：同时，请注意诉讼时效的问题。根据《民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，您应在知道或应当知道权利受到损害之日起三年内提起诉讼。

5. 预防措施与后续建议：

   • 定期检查：为了避免类似问题的再次发生，建议您定期检查自家及周边环境的树木状况，及时发现并处理潜在的安全隐患。
   • 加强沟通：与邻居保持良好的沟通关系，共同维护邻里和谐与安全。在发现类似问题时，能够迅速达成共识并采取有效措施。

总结与建议：面对邻居家的枯树不肯砍的问题，您应首先尝试与邻居协商解决；若协商无果，可寻求居委会、物业或相关行政部门的协助；在极端情况下，可考虑通过法律途径维护自己的合法权益。在整个过程中，请保持冷静和理性，依法行事。如果您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。