当您发现邻居挖树根时树根被砍断，这确实是一个需要妥善处理的问题。为了有效维护您的权益，并尽可能通过和平、合理的方式解决纠纷，我建议您按照以下步骤来操作：

一、固定证据

首先，您需要立即对现场进行详细的记录。这包括多角度、清晰地拍照和录像，以展示被砍断的树根的数量、大小、受损程度以及周围的环境。这些证据将对于后续的维权过程至关重要，因此请确保它们的真实性和完整性。同时，如果可能的话，寻找是否有目击者，并留下他们的联系方式，以便在需要时作为证人证言。

二、与邻居沟通协商

在固定好证据之后，接下来您应该尝试与邻居进行沟通。在沟通过程中，请保持冷静和理性，避免情绪化的冲突。您可以询问邻居砍断树根的原因，看看是否存在误会或沟通不畅的情况。如果邻居承认其行为且没有合理的解释，您可以明确提出赔偿要求，这包括树根的价值以及可能因此给您带来的其他经济损失。

三、寻求第三方调解

如果与邻居的沟通协商没有取得满意的结果，您可以考虑寻求第三方的调解。这可以包括向村委会、居委会等基层组织申请调解，他们通常具有地方影响力和调解经验，可能能够帮助您和邻居达成和解。另外，您也可以依法向人民调解委员会申请调解，由专业的调解员根据法律法规和情理来提出解决方案。

四、报警处理（如情节严重）

如果邻居的行为恶劣，或者给您造成了较大的损失，且您认为有必要采取更进一步的措施，那么您可以向公安机关报案。在报案时，请准确说明事件的经过，并提供您所固定的证据。配合警方的调查工作，以便他们能够更好地了解情况并作出处理。

五、提起民事诉讼（作为最终手段）

如果经过上述步骤仍然无法解决问题，或者您认为邻居的行为已经严重侵犯了您的权益，那么您可以考虑提起民事诉讼。在提起诉讼之前，请准备好相关的诉讼材料，包括民事起诉状、原被告信息、诉讼请求、事实和理由等，并收集好所有相关的证据。然后，向被告住所地或侵权行为地的基层人民法院提起诉讼，等待法院的审理和判决。

总结与建议：

面对邻居砍断树根的问题，我建议您首先尝试通过沟通和协商来解决。如果协商无果，再依次寻求基层组织、人民调解委员会的调解。在必要时，不要害怕拿起法律武器来维护自己的合法权益。但请记住，在整个过程中，固定证据是关键，而保持冷静和理性则有助于问题的顺利解决。希望这些建议能够对您有所帮助。