当用人单位拖欠您一个月的工资，并且您选择通过仲裁途径来维护自己的权益时，仲裁机构会按照以下流程和处理方式来进行：

一、仲裁机构的处理流程

1. 证据审查： 仲裁机构首先会仔细审查您提交的证据材料，这些材料包括但不限于劳动合同、工资发放记录、工作证、考勤记录、与用人单位关于工资拖欠的聊天记录或邮件等。这些证据的目的是确认您与用人单位之间存在劳动关系，以及用人单位确实存在拖欠工资的行为。

2. 裁决支付： 如果您的证据充分，能够证明用人单位拖欠了您的工资，仲裁机构会作出裁决，要求用人单位在规定的期限内支付拖欠的工资。这个裁决是具有法律效力的，用人单位必须履行。

3. 强制执行： 如果用人单位在裁决规定的期限内没有支付工资，您可以向法院申请强制执行。法院会采取相应的措施，确保您的工资得到支付。

二、可能获得的经济补偿

除了要求用人单位支付拖欠的工资外，根据具体情况，您还有可能获得经济补偿：

1. 经济补偿金： 如果用人单位未按照劳动合同的约定及时足额支付您的劳动报酬，导致您解除劳动合同，那么用人单位需要按照您在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付经济补偿金。

2. 赔偿金： 根据《劳动合同法》的规定，如果用人单位拖欠工资，并且在劳动行政部门责令限期支付后仍然不支付，那么用人单位需要向您加付赔偿金。赔偿金的标准为应付金额的百分之五十以上百分之一百以下。

三、仲裁过程中的注意事项

1. 积极配合： 在仲裁过程中，您需要积极配合仲裁机构的工作，如实陈述相关情况，提供真实的证据材料。

2. 证据收集： 确保您收集的证据真实、合法、有效，并且与您的诉求紧密相关。这有助于增加您仲裁胜诉的几率。

3. 法律途径： 如果仲裁结果不如您所愿，或者用人单位不履行仲裁裁决，您还可以通过法律途径来维护自己的权益，比如向法院提起诉讼。

四、示例说明

假设您的月工资为5000元，用人单位拖欠了您一个月的工资。在仲裁过程中，您提供了充分的证据证明用人单位拖欠了您的工资。仲裁机构裁决用人单位支付您拖欠的5000元工资，并且因为用人单位未及时足额支付劳动报酬导致您解除劳动合同，所以用人单位还需要支付您经济补偿金（假设您工作了2年，则经济补偿金为2个月工资，即10000元）。如果用人单位在裁决规定的期限内没有支付，您还可以向法院申请强制执行，并可能获得额外的赔偿金。

综上所述，当用人单位拖欠您一个月的工资时，您可以通过仲裁途径来维护自己的权益。在仲裁过程中，您需要积极配合、提供充分的证据，并了解自己可能获得的经济补偿。如果仲裁结果不如您所愿或者用人单位不履行裁决，您还可以通过法律途径来进一步维护自己的权益。