您有权起诉要求邻居拆除鸡圈，但能否成功拆除需视具体情况而定。以下是从不同角度为您进行的分析：
一、法律角度
相邻权保护：
- 根据《民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。
- 邻居在您的院墙外建鸡圈，可能影响了您的正常生活（如噪音、气味等），这违反了相邻权的原则。您有权要求邻居停止侵害、排除妨碍，即拆除鸡圈。
土地使用权：
- 您需要确认鸡圈所占用的土地是否属于您的使用权范围。如果鸡圈建在了您的土地上，那么邻居的行为显然构成了侵权，您有权要求其拆除。
- 如果鸡圈建在了公共区域或邻居自己的土地上，但影响了您的正常使用，您仍可以基于相邻权提起诉讼。
二、实际操作角度
收集证据：
- 在起诉前，您需要收集足够的证据来证明邻居的行为对您造成了影响。这包括但不限于照片、视频、证人证言等。
- 证据应能清晰展示鸡圈的位置、规模以及对您生活的影响。
协商与调解：
- 在起诉前，您可以尝试与邻居进行协商，看是否能达成和解，如调整鸡圈的位置、减少养殖数量等。
- 如果协商无果，您可以寻求村委会、居委会或相关部门的调解。
起诉流程：
- 如果协商和调解均无法解决问题，您可以向法院提起诉讼。
- 起诉时，您需要提交起诉状、证据材料等。法院将审理案件，并根据事实和法律作出判决。
三、可能的结果
胜诉并拆除鸡圈：
- 如果法院认定邻居的行为违反了法律或对您造成了实质性影响，那么您可能胜诉，并要求邻居拆除鸡圈。
败诉或调解结案：
- 如果法院认为邻居的行为并未对您造成实质性影响，或者您提供的证据不足，那么您可能败诉。
- 另外，即使胜诉，如果邻居愿意调整行为（如减少养殖数量、改善卫生条件等），法院也可能促成双方调解结案。
四、建议
保持冷静与理性：
- 在处理此类纠纷时，保持冷静与理性至关重要。避免与邻居发生直接冲突，以免加剧矛盾。
寻求专业帮助：
- 如果您对法律程序不熟悉或担心自己无法有效维护权益，可以寻求专业律师的帮助。律师将为您提供法律咨询、代理诉讼等服务。
关注后续执行：
- 如果胜诉后邻居不履行判决，您可以向法院申请强制执行。法院将采取措施确保判决得到执行。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供更为详细的法律建议。