结论前置：

1. 若老师属于劳动关系中的劳动者：未签合同擅自辞职，一般不需对学校承担赔偿责任，但可能面临工资、社保等权益受损风险；若辞职给学校造成实际损失，且老师存在故意或重大过失，则可能需承担部分赔偿责任。
2. 若老师属于劳务关系中的提供劳务者：擅自辞职可能需根据合同约定或实际损失情况承担赔偿责任。

详细分析：

一、若老师属于劳动关系中的劳动者

1. 未签合同的影响：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果学校未与老师签订书面劳动合同，老师有权要求学校支付双倍工资。
   • 但未签合同本身并不直接导致老师需要承担赔偿责任。

2. 擅自辞职的后果：

   • 老师作为劳动者，享有辞职的权利。根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。在试用期内，劳动者提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。
   • 如果老师未按照上述规定提前通知学校而擅自辞职，可能构成违法解除劳动合同。但违法解除劳动合同并不直接等同于需要承担赔偿责任，除非因老师的违法解除行为给学校造成了实际损失，且老师存在故意或重大过失。

3. 赔偿责任的承担：

   • 如果老师的擅自辞职行为给学校造成了实际损失（如招聘替代人员的费用、因老师离职导致的业务中断损失等），且老师存在故意或重大过失，那么老师可能需要根据其过错程度承担部分赔偿责任。
   • 但需要注意的是，这种赔偿责任并不是绝对的，而是需要根据具体情况进行判断。

二、若老师属于劳务关系中的提供劳务者

1. 劳务关系的性质：

   • 劳务关系是指劳动者与用工者根据口头或书面约定，由劳动者向用工者提供一次性的或者是特定的劳动服务，用工者依约向劳动者支付劳务报酬的一种有偿服务的法律关系。
   • 在劳务关系中，双方的权利义务通常通过劳务合同来约定。

2. 擅自辞职的后果：

   • 如果老师与学校之间签订的是劳务合同，且合同中明确约定了老师不得擅自辞职或辞职需承担的违约责任，那么老师擅自辞职可能构成违约。
   • 在这种情况下，老师可能需要根据劳务合同的约定承担相应的违约责任，包括但不限于支付违约金、赔偿损失等。

3. 赔偿责任的承担：

   • 如果劳务合同中明确约定了老师擅自辞职需承担的赔偿责任，且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么老师需要按照约定承担赔偿责任。
   • 如果劳务合同中未明确约定赔偿责任，但老师的擅自辞职行为给学校造成了实际损失，那么学校可以要求老师根据实际损失情况进行赔偿。

建议与总结：

• 对于老师而言，无论属于劳动关系还是劳务关系，都应尽量遵守合同约定和法律法规的规定，避免擅自辞职等行为带来的法律风险。
• 如果确实需要辞职，应提前与学校进行沟通并按照规定办理离职手续。
• 如果因擅自辞职行为给学校造成了损失，应积极与学校协商解决赔偿问题，避免纠纷升级。
• 有问题可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。