结论前置：
- 员工无需因未签合同且自动辞职而赔偿公司：员工辞职本身不构成需要向公司赔偿的理由，除非存在违反服务期约定或竞业限制约定等特定情况。
- 公司可能需因未签合同而赔偿员工：如果公司自用工之日起超过一个月未与员工签订书面劳动合同，员工辞职后有权要求公司支付双倍工资差额。
详细分析：
一、员工辞职与赔偿问题
员工有权在任何时候选择辞职，无论是否签订了劳动合同。辞职本身并不构成需要向用人单位赔偿的理由。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，法定需要员工赔偿的情形主要是违反服务期约定或竞业限制约定等特定情况。因此，在未签合同且员工自动辞职的情况下，员工无需向公司赔偿。
二、公司未签劳动合同的法律责任
如果公司自用工之日起超过一个月仍未与员工签订书面劳动合同，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，公司应当向员工每月支付两倍的工资作为赔偿。这一规定是惩罚性措施，旨在约束和惩罚用人单位，而非对劳动者进行处罚。具体来说：
- 赔偿期限：从用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，最多十一个月。
- 赔偿计算方式：以员工月工资为基数，乘以未签合同的月数。例如，若员工月工资为5000元，未签合同10个月，则公司需支付5000元×10个月=50000元的双倍工资差额（实际支付为差额部分，即额外支付50000元，加上原本应支付的50000元工资，总共公司需支付100000元，但员工可主张的差额部分为50000元）。但通常理解下，我们说的“双倍工资差额”即指额外支付的部分，所以此处简化为公司需额外支付50000元。
三、员工自动辞职后的维权路径
即使员工选择自动离职，只要公司存在未签劳动合同的违法行为，员工仍有权通过法律途径主张权益。具体来说：
- 协商优先：员工可向公司提出补签合同或支付双倍工资差额的要求。若公司同意补偿，建议签署书面协议明确金额及支付方式。
- 劳动仲裁申请：若协商无果，员工可在离职后一年内向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付双倍工资差额。申请时需准备工资流水、考勤记录、工牌、工作邮件等能证明劳动关系的材料。
- 诉讼阶段：对仲裁结果不服的，员工可在15日内向法院起诉。法院将审查劳动关系是否存在、公司过错程度等证据链。
四、特殊情形处理
- 超过一年未签合同：自用工满一年起视为已订立无固定期限劳动合同，但员工仍可主张前11个月的双倍工资差额。
- 公司拒绝配合：员工可向劳动监察部门投诉，要求责令整改并处罚款（罚款标准为每人500-2000元）。
- 以未签合同为由解除劳动关系：员工若以此为由解除劳动关系，可同时主张经济补偿金（N倍月工资，N为工作年限）。
示例说明：
假设员工小张于2024年1月1日入职某公司，公司一直未与其签订劳动合同。小张在2024年8月1日自动离职。那么，从2024年2月1日至2024年7月31日期间（共6个月），小张可以要求公司支付双倍工资差额。若小张月工资为6000元，则公司需额外支付6000元×6个月=36000元作为赔偿。
总结与建议：
综上所述，员工在未签订劳动合同的情况下自动辞职，无需担心因辞职而承担不必要的赔偿责任。相反，如果公司长时间未与员工签订劳动合同，员工有权要求公司支付双倍工资差额作为补偿。建议员工在离职后及时保留相关证据，并通过协商、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。