针对您提出的“员工嫖娼被公安机关经济处罚后，支部该如何处理”的问题，以下是我根据相关法律法规和条例给出的详细解答：
首先，需要明确的是，嫖娼是一种违法行为，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十六条的规定，卖淫、嫖娼的，会被处以十日以上十五日以下拘留，并可以并处五千元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。当员工因此被公安机关经济处罚后，其所在的组织，特别是党支部，需要依据相关规定进行严肃处理。
对于公职人员（包括事业编制、国企员工）中的党员，如果其嫖娼行为被党组织发现，根据《中国共产党纪律处分条例》第二十八条的规定，党组织应当视具体情节给予警告直至开除党籍的处分。这是因为党员的行为不仅关乎个人，更关乎党的形象和纪律，因此必须予以严肃处理。
同时，对于行政机关公务员，根据《行政机关公务员处分条例》第三十一条的规定，吸食、注射毒品或者组织、支持、参与卖淫、嫖娼、色情淫乱活动的，会给予撤职或者开除处分。这意味着，如果公务员涉及嫖娼行为，其公职生涯可能会受到严重影响。
对于事业单位工作人员，根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十一条的规定，组织、参与卖淫、嫖娼等色情活动的，也会根据情节轻重给予警告、记过、降低岗位等级、撤职或者开除的处分。
具体到支部处理流程：
调查核实：支部在接到相关报告或举报后，应首先进行调查核实，确保信息的真实性和准确性。
依据规定处理：根据调查核实的结果，支部应依据上述相关法律法规和条例，对涉事员工进行相应的党纪或政纪处分。
教育引导：在处理过程中，支部还应注重对涉事员工的教育引导，帮助其认识到错误，改正行为，并引导其树立正确的价值观和道德观。
公开通报：为了维护组织的纪律性和形象，支部还可以根据情况对处理结果进行公开通报，以儆效尤。
综上所述，员工嫖娼被公安机关经济处罚后，支部应依据相关法律法规和条例进行严肃处理，以维护组织的纪律性和形象。同时，也应注重对涉事员工的教育引导，帮助其改正错误，重新做人。