面对打假人在多家超市购买商品后索要赔偿的情况，超市作为经营主体，需要采取一系列合理且合法的措施来应对。以下是一些详细的建议：

一、核实索赔要求的合理性

1. 检查商品问题：首先，超市应详细检查打假人所购买的商品，确认是否存在质量问题或不符合食品安全标准的情况。这包括但不限于检查商品的保质期、生产日期、成分表等关键信息。

2. 评估索赔金额：根据《中华人民共和国食品安全法》等相关法律法规，评估打假人所提出的赔偿金额是否合理。如果索赔金额明显超出法定标准或存在不合理之处，超市有权进行协商或拒绝。

二、积极应对索赔要求

1. 支付合理赔偿：如果超市确认商品存在问题，且打假人的索赔要求合理，那么超市应首当其冲地支付赔偿金。这不仅是法律义务，也是维护超市声誉和消费者信任的重要举措。

2. 整顿改正问题：在支付赔偿金的同时，超市应对经营过程中涉及的违法违规行为进行全面整顿和改正。这包括加强商品质量检查、完善进货渠道管理、提升员工法律意识等。

三、应对不当索赔手段

1. 明确拒绝不合理索赔：如果超市认为打假人的索赔要求不合理或存在恶意，那么超市应明确拒绝，并告知打假人其将通过法律途径解决争议。

2. 报警处理威胁恐吓：对于某些打假人采取威胁恐吓等不当手段进行追索的情况，超市有权选择立即报警。警方将依法对此类行为展开调查处置，维护超市的合法权益。

四、法律途径解决争议

1. 协商调解：在拒绝不合理索赔后，超市可以尝试与打假人进行协商调解，寻求双方都能接受的解决方案。

2. 法律诉讼：如果协商调解无果，超市可以通过法律途径解决争议。这包括向法院提起诉讼或应诉打假人的起诉。在诉讼过程中，超市应提供充分的证据来支持自己的主张。

五、加强内部管理预防风险

1. 建立溯源体系：超市应建立全流程溯源体系，确保商品质量可追溯。这有助于在发生争议时快速定位问题源头并采取措施。

2. 定期排查商品：超市应定期排查临期商品并及时下架处理，避免过期商品流入市场引发争议。

3. 提升员工法律意识：超市应加强对员工的法律培训，提升员工的法律意识和风险防范能力。这有助于减少因员工操作不当而引发的法律风险。

综上所述，面对打假人在多家超市购买商品后索要赔偿的情况，超市应核实索赔要求的合理性、积极应对索赔要求、应对不当索赔手段、通过法律途径解决争议，并加强内部管理预防风险。