结论：退休当月与另一家单位签订合同，需根据退休人员身份性质（是否享受养老保险待遇）及合同性质（劳务合同或劳动合同）进行区分处理，具体操作如下：
一、区分退休人员身份性质
已享受养老保险待遇的退休人员
根据《劳动合同法》第44条及《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第32条，此类人员与新单位建立的不是劳动关系，而是劳务关系。
- 合同性质：应签订《劳务合同》，而非《劳动合同》。
- 权利义务：
- 无需缴纳社保（因已享受养老保险）；
- 工资支付方式可协商（如按日、按次结算）；
- 不适用最低工资标准、加班费、经济补偿等劳动法规定；
- 双方可约定违约责任（如提前解约的赔偿）。
未享受养老保险待遇的退休人员
若因单位未缴社保导致退休后未领取养老金，此类人员与新单位可能被认定为劳动关系（需结合地方司法实践）。
- 合同性质：建议签订《劳动合同》，并明确社保补缴责任（如由原单位补缴或新单位协助）。
- 风险提示：若被认定为劳动关系，新单位需承担未缴社保的行政责任（如补缴、罚款）。
二、合同签订的实操步骤
明确合同类型
- 已享受养老金：签订《劳务合同》，条款侧重工作内容、报酬、工作时间、保密义务等。
- 未享受养老金：签订《劳动合同》，并附加社保补缴协议（如需）。
合同条款设计要点
- 劳务合同：
- 明确“本合同不构成劳动关系”；
- 约定报酬支付方式（如银行转账）、时间（如月结）；
- 约定意外伤害责任承担（如由退休人员自行投保商业险）。
- 劳动合同：
- 明确试用期（如有）、工资标准、工作时间；
- 约定社保缴纳主体（如原单位补缴或新单位代缴）；
- 约定解约条件（如提前30日通知）。
备案与公示
- 劳务合同无需备案，但建议双方签字盖章后各执一份；
- 劳动合同需符合《劳动合同法》形式要求（如书面形式），部分地区需备案。
三、风险防范建议
已享受养老金人员
- 避免在合同中使用“工资”“加班费”等劳动关系术语；
- 建议购买商业意外险，降低用工风险。
未享受养老金人员
- 优先要求原单位补缴社保，再与新单位签订合同；
- 若必须与新单位签订劳动合同，需明确社保缴纳责任方。
提示：退休人员再就业的合同性质直接影响权利义务，建议根据自身情况选择合同类型，并在合同中明确关键条款。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。