终止劳动合同的证明应当由用人单位开具。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除或者终止劳动合同时，有义务出具解除或者终止劳动合同的证明。这一规定明确了用人单位在劳动合同终止时的法律责任，即必须为劳动者提供相应的证明文件。

二、证明的作用

1. 申领失业保险金：劳动者可凭借此证明申领失业保险金，这是劳动者在失业期间的一项重要经济保障。
2. 办理失业登记：证明也是劳动者办理失业登记的必要文件，有助于劳动者及时了解并享受相关的失业援助政策。
3. 重新就业：在重新就业时，新单位一般也会要求劳动者提供上一家单位的解除终止劳动合同证明书，以确认劳动者与原单位已解除劳动关系，避免潜在的劳动纠纷。

三、未开具证明的法律后果

若用人单位未按规定开具解除或终止劳动合同的证明，给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。劳动者可以通过与单位协商、向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁等方式，要求单位依法开具证明并赔偿损失。

四、实际操作建议

1. 劳动者角度：在劳动合同终止时，劳动者应主动向用人单位索取解除或终止劳动合同的证明。如用人单位拒绝开具，劳动者可保留相关证据，并通过合法途径维护自己的权益。
2. 用人单位角度：用人单位应严格遵守法律规定，及时为劳动者开具解除或终止劳动合同的证明。这不仅是法律义务，也是维护企业形象和避免潜在法律风险的重要举措。

总结：终止劳动合同的证明应当由用人单位开具，这是法律规定的明确义务。如用人单位未履行此义务，劳动者有权通过合法途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。