在劳动仲裁后单位提出一审的情况下，员工是可以就劳动仲裁时没有被支持的事项进行反诉的，但需满足一定的条件和程序要求。以下是对此问题的详细分析：
一、反诉的权利与条件
反诉权利：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》等相关法律法规，员工作为被申请人，在劳动仲裁结束后，如果公司对仲裁结果不服并提起诉讼，员工有权在规定期限内提出反诉。
反诉条件：
- 反诉必须有清晰明确的诉讼请求，且该请求与原仲裁案件紧密相关联。
- 反诉应基于真实合理的事实理由，并提供相应的证据支持。
- 反诉应向受理上诉的法院提交，且诉讼请求必须在法律规定的范围之内。
二、反诉的程序与注意事项
准备反诉材料：
- 员工应认真准备反诉材料，包括反诉申请书、相关证据材料等。反诉申请书应详细列明反诉人、被反诉人的身份信息、联系方式以及反诉的具体请求、事实与理由。
提交反诉申请：
- 员工应在规定的期限内将反诉材料提交给受理上诉的法院。这个期限通常会在法院受理上诉后告知员工，员工需严格遵守。
等待法院审查：
- 法院会对反诉进行严格的审查，包括反诉的合法性、关联性以及证据的充分性等。只有符合相关条件的反诉才会与上诉案件一并进行审理。
注意时间限制和证据充分性：
- 员工应确保在规定的期限内提出反诉，并提供充分且有效的证据来支持其反诉请求。如果证据不足或逾期提交，可能会导致反诉被驳回。
三、反诉的潜在影响与建议
潜在影响：
- 反诉的提出可能会增加案件的复杂性和审理时间。同时，如果反诉请求未得到法院支持，员工可能需要承担相应的诉讼费用。
建议：
- 在决定是否提出反诉前，员工应充分评估反诉的可行性和潜在风险。如果反诉请求合理且证据充分，那么提出反诉可能是一个维护自身权益的有效途径。
- 如果员工对反诉程序或法律规定不熟悉，可以向我咨询以获取专业的法律建议。我会根据员工的实际情况和案件的具体情况，为员工提供针对性的法律指导和帮助。
举例说明：假设在劳动仲裁中，员工主张了加班费但未被支持。在单位对仲裁结果不服并提起诉讼后，员工如果认为其加班事实清楚、证据充分，且加班费请求合法合理，那么员工可以在规定期限内向受理上诉的法院提出反诉，要求单位支付加班费。
综上所述，劳动仲裁后单位提出一审的情况下，员工是有权就劳动仲裁时没有被支持的事项进行反诉的，但需满足一定的条件和程序要求。如果你在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。