结论前置：

1. 一般情况下，体检费用应由公司承担，因为公司有责任妥善保管员工体检报告，丢失后要求员工补办，相关费用理应由公司负责。
2. 关于务工费用，若因补办体检报告导致员工产生额外务工损失，且该损失与公司丢失体检报告有直接因果关系，员工有权要求公司赔偿这部分务工费用。

详细分析：

首先，从法律责任的角度来看，公司作为员工体检报告的管理者，有义务妥善保管这些资料。一旦丢失，公司应当承担相应的责任，这包括但不限于重新安排体检或接受员工补办的体检报告，并承担由此产生的合理费用。体检费用作为补办体检报告的直接支出，理应由公司承担。

其次，关于务工费用的问题，这涉及到员工因补办体检报告而可能产生的额外工作时间损失或交通费用等。如果这些损失是由于公司丢失体检报告而直接导致的，那么根据民事责任的因果关系原则，员工有权要求公司进行赔偿。具体来说，员工可以保留相关证据，如因补办体检而产生的交通票据、额外工作时间的记录等，以便在需要时向公司主张权利。

进一步思考与建议：

1. 与公司协商：员工可以先尝试与公司进行友好协商，明确表达自己的诉求和理由，看是否能够达成一致意见。在协商过程中，员工可以引用相关法律法规或公司规章制度来支持自己的观点。

2. 保留证据：无论协商结果如何，员工都应当保留好与补办体检报告相关的所有证据，包括体检费用发票、交通票据、额外工作时间的记录等。这些证据在后续可能出现的纠纷中将起到关键作用。

3. 寻求法律援助：如果协商无果，员工可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。律师可以根据具体情况为员工提供法律建议，并帮助员工制定合适的维权策略。

4. 注意时效性：在处理此类纠纷时，员工还需要注意时效性问题。根据相关法律法规的规定，某些权利主张可能受到时效限制。因此，员工应当在知道或应当知道自己的权利受到侵害之日起及时行使权利。

总结：

公司丢失员工体检报告后要求员工补办并承担相关费用是不合理的。体检费用应由公司承担，而因补办体检报告产生的务工费用，若与公司丢失体检报告有直接因果关系，员工也有权要求公司赔偿。在处理此类纠纷时，员工应当保留好相关证据，并尝试与公司进行友好协商。如果协商无果，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师。