在以下特定情况下，公司辞退员工无需支付赔偿：

一. 员工存在重大过错

1. 试用期间不符合录用条件：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项，若员工在试用期内被证明不符合录用条件，如无法完成基本工作任务或经培训后仍不胜任，公司可解除劳动合同且无需支付赔偿金。- 举例：如某新员工在试用期内多次未能完成工作任务，经培训后仍无改善，公司可据此辞退且无需赔偿。
2. 严重违反规章制度：依据同上，第二项，若员工严重违反合法合理的规章制度，如多次旷工、泄露公司机密等，公司可辞退员工且无需赔偿。- 举例：如某员工多次无故旷工，严重违反公司考勤制度，公司可因此辞退且无需赔偿。
3. 严重失职、营私舞弊：根据同上，第三项，若员工因故意或重大过失给公司造成重大损害，如因疏忽导致巨额经济损失，公司可辞退员工且无需赔偿。- 举例：如某财务因疏忽大意导致公司资金被骗，造成重大损失，公司可因此辞退且无需赔偿。
4. 与其他单位建立劳动关系：依据同上，第四项，若员工同时与其他用人单位建立劳动关系并对本职工作产生严重影响，或拒不改正，公司可辞退且无需赔偿。- 举例：如某员工在未经公司同意的情况下兼职，且影响本职工作，经公司提出后拒不改正，公司可因此辞退且无需赔偿。
5. 劳动合同无效：根据《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条第一款第一项及第三十九条第五项，若员工以欺诈、胁迫等手段使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，该合同无效，公司可辞退员工且无需赔偿。- 举例：如某员工伪造学历证书被录用，公司发现后可因劳动合同无效而辞退且无需赔偿。
6. 被追究刑事责任：依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第六项，若员工触犯刑法并被法院判处刑罚，公司可依法辞退且无需赔偿。- 举例：如某员工因犯罪被判有期徒刑，公司可据此辞退且无需赔偿。

二. 双方协商一致

• 若公司与员工双方达成了协议，并一致同意解除劳动合同，公司辞退员工也不需要支付赔偿金。这体现了双方的自愿和协商一致原则。

三. 其他法定情形

1. 劳动合同期满，员工不续签：当劳动合同到期时，若员工明确表示不愿意续签，公司可终止劳动合同且无需支付经济补偿。
2. 员工开始享受基本养老保险待遇：员工达到法定退休年龄并开始享受基本养老保险待遇后，劳动合同自然终止，公司无需支付经济补偿。

总结：公司在辞退员工时，必须确保符合法律法规的规定，并遵循合法的程序。尽管在上述情况下公司可以辞退员工而无需赔偿，但仍应谨慎处理，确保有充分的证据支持其决定，以避免可能的劳动纠纷。同时，建议公司在日常管理中加强规章制度建设，明确员工行为准则，以确保在必要时能够依法维护自身权益。