当公安机关发现嫌疑人在外地犯罪时，会依据我国刑事诉讼法的相关规定以及属地管辖原则来处理。以下是详细的处理流程：

一、管辖原则

根据属地管辖原则，犯罪地的公安机关（包括行为发生地和结果发生地的公安机关）对案件具有管辖权。这意味着，如果嫌疑人在外地实施了犯罪行为，那么该犯罪行为发生地和结果发生地的公安机关都有权对该案件进行立案侦查。

二、立案侦查

1. 接警与立案：当地公安机关在接到报案后，会依据属地管辖原则对案件进行立案。
2. 侦查工作：立案后，公安机关会依法开展侦查工作，包括收集证据、询问证人、勘验现场等，以确定犯罪嫌疑人并查明案件事实。

三、审查起诉

1. 侦查终结：当公安机关认为已经收集到足够的证据，可以证明犯罪嫌疑人的犯罪事实时，会侦查终结。
2. 移送审查起诉：侦查终结后，公安机关会将案件移送当地人民检察院进行审查起诉。人民检察院会对案件进行审查，决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。

四、审判与执行

1. 审判：如果人民检察院决定提起公诉，案件将由犯罪地的人民法院进行审判。人民法院会依法审理案件，并作出判决。
2. 执行：如果犯罪嫌疑人被判处刑罚，判决生效后，将在当地执行刑罚。如果犯罪嫌疑人在外地被采取强制措施（如拘留、逮捕等），后续也会被押解回犯罪地接受法律程序，以确保诉讼与司法公正。

五、特殊情况处理

如果嫌疑人在犯罪后逃回原籍地或其他地方，且原籍地或其他地方的公安机关也掌握了相关证据，那么这些地方的公安机关也可以与犯罪地公安机关协作，共同开展侦查工作。在必要时，犯罪地公安机关还可以请求上级公安机关协调其他地方的公安机关协助侦查。

举例说明：

假设小朱在外地实施了盗窃行为，当地公安机关接到报案后，会依据属地管辖原则对案件展开调查。由于该犯罪行为发生地和结果发生地均在当地，所以当地公安机关具有管辖权。警方经过侦查收集到小朱盗窃的证据并确定其为犯罪嫌疑人。侦查终结后，案件被移送当地人民检察院审查起诉，随后由犯罪地的人民法院进行审判。如果小朱被判处刑罚，将在当地执行。如果小朱在外地被采取强制措施，后续也会被押解回犯罪地接受法律程序。

综上所述，当公安机关发现嫌疑人在外地犯罪时，会依据属地管辖原则进行立案侦查、审查起诉、审判与执行等程序，以确保法律的公正实施和犯罪嫌疑人的合法权益得到保障。