核心结论：驾驶员被车上货物砸伤，挂靠公司是否承担赔偿责任及如何赔偿，需根据挂靠协议的性质、公司是否存在过错等因素综合判断。以下是具体分析：

1. 挂靠关系的法律性质是关键

• 若挂靠协议明确约定安全责任归属：例如协议中约定驾驶员自行承担运输风险，挂靠公司仅收取管理费且不参与实际经营，则公司可能无需直接赔偿。但需注意，若公司存在管理疏漏（如未对货物固定进行安全检查），仍可能承担部分过错责任。
• 若挂靠协议未明确约定或约定违法：根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。若公司未尽到安全保障义务（如未提供安全培训、未检查货物装载），可能被认定为存在过错，需按过错比例赔偿。

2. 挂靠公司的过错认定

• 直接过错：如公司要求超载、未提供安全防护设备，或明知货物固定不牢仍要求运输，需承担主要赔偿责任。
• 间接过错：如公司未定期检查车辆安全性能、未对驾驶员进行安全教育，可能承担次要责任。
• 无过错情形：若货物砸伤系因不可抗力（如突发地震）或驾驶员自身故意行为导致，公司通常无需赔偿。

3. 赔偿责任的承担方式

• 挂靠公司单独赔偿：若公司存在重大过错且无其他责任主体，需全额赔偿驾驶员的医疗费、误工费、残疾赔偿金等损失。
• 挂靠公司与实际车主连带赔偿：根据《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第3条，以挂靠形式从事道路运输经营活动的机动车，发生交通事故造成损害，属于该机动车一方责任的，由挂靠人和被挂靠人承担连带责任。
• 保险公司先行赔付：若车辆投保了车上人员责任险，驾驶员可先向保险公司索赔，不足部分再由责任方补足。

4. 实务建议

• 驾驶员：立即固定证据（如现场照片、医疗记录），向挂靠公司发送书面索赔通知，并保留沟通记录。
• 挂靠公司：核查挂靠协议条款，评估自身过错程度，主动协商赔偿或通过保险理赔降低损失。
• 争议解决：若协商不成，可向法院起诉，同时申请对车辆安全性能、货物装载情况等进行司法鉴定。

提示：具体赔偿金额需结合伤情鉴定、费用凭证等证据计算。如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况提供详细方案。