员工不服从管理且私下诽谤管理人员，单位不可以直接辞退，但需视具体情况和单位规章制度来定。以下从不同角度进行分析：

一、员工不服从管理

1. 一般情况：员工不服从管理，并不直接构成单位可以辞退的法定理由。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，单位辞退员工需要符合法定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。单纯的不服从管理，并不直接等同于这些法定情形。

2. 规章制度：如果单位有明确的规章制度，且该规章制度中规定了不服从管理可以作为辞退的理由，并且该规章制度已经经过民主程序制定、公示且不违反法律法规的强制性规定，那么单位在员工不服从管理且情节严重的情况下，可以依据规章制度辞退员工。但需要注意的是，规章制度的制定和执行必须合法合规，否则可能面临法律风险。

二、员工私下诽谤管理人员

1. 诽谤行为的性质：私下诽谤管理人员，如果情节严重，可能构成对管理人员名誉权的侵害。然而，这并不直接等同于单位可以辞退员工的法定理由。除非该诽谤行为严重影响了单位的正常工作秩序或造成了其他严重后果，且单位规章制度中有明确规定。

2. 规章制度与法律责任：同样，如果单位规章制度中明确规定了私下诽谤管理人员可以作为辞退的理由，并且该规章制度合法合规，那么单位在员工存在此类行为且情节严重时，可以依据规章制度辞退员工。但单位需要承担举证责任，证明员工的诽谤行为确实存在且情节严重。

三、综合分析与建议

1. 合法合规性：单位在辞退员工时，必须确保辞退行为合法合规。这包括辞退理由必须符合法定情形或单位规章制度中的明确规定，且规章制度本身必须合法合规。否则，单位可能面临违法解除劳动合同的法律风险，需要承担相应的法律责任。

2. 证据收集与程序合规：如果单位决定辞退员工，必须确保有充分的证据证明员工的违规行为存在且情节严重。同时，辞退程序也必须合规，如提前通知员工、听取员工意见、办理相关手续等。

3. 建议与应对：对于员工不服从管理且私下诽谤管理人员的情况，建议单位首先与员工进行沟通协商，尝试解决问题。如果沟通无果且员工行为确实违反了单位规章制度或法律法规，单位可以依据相关规定进行辞退处理。但在此过程中，单位必须确保所有行为都合法合规，以避免法律风险。

总结来说，员工不服从管理且私下诽谤管理人员，并不直接构成单位可以辞退的法定理由。单位在辞退员工时，必须确保辞退行为合法合规，并依据明确的规章制度或法律法规进行。如果有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。