公司非法开除试用期员工且不想赔偿的行为是违法的，员工有权要求公司支付赔偿金。下面我将从几个方面详细分析这个问题：

一、公司非法开除试用期员工的认定

在试用期内，公司若想合法开除员工，必须证明员工不符合录用条件。这通常包括员工未通过试用期考核、存在弄虚作假入职等情形。如果公司无法提供充分证据证明员工不符合录用条件，那么其开除行为就可能被视为违法。

二、公司非法开除的法律后果

如果公司非法开除试用期员工，员工有权要求公司支付赔偿金。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，赔偿金的标准一般为经济补偿标准的二倍。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，如果公司非法开除试用期员工，且员工工作不满六个月，公司应支付员工一个月工资作为赔偿金。

三、员工的维权途径

面对公司非法开除且不想赔偿的情况，员工可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 与公司协商：

   • 员工可以与公司进行协商，要求公司支付赔偿金。在协商过程中，员工应明确说明公司非法开除的行为以及应支付的赔偿金标准。

2. 向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁：

   • 如果协商不成，员工可以向劳动争议调解仲裁机构申请调解或仲裁。在申请仲裁时，员工需要准备好相关证据，如录用通知、考核记录、辞退通知等能证明工作及辞退情况的材料。

3. 向法院提起诉讼：

   • 如果对仲裁结果不服，员工还可以向法院提起诉讼，要求法院判决公司支付赔偿金。

四、实际案例与法律建议

在实际操作中，我曾遇到过多起类似案例。例如，某公司以员工不符合录用条件为由开除了一名试用期员工，但无法提供充分证据。最终，在劳动争议仲裁机构的调解下，公司支付了员工相应的赔偿金。

法律建议：

• 员工在遭遇公司非法开除时，应保持冷静，及时收集并保存相关证据。
• 员工可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地了解自己的权益和维权途径。
• 在与公司协商或申请仲裁时，员工应明确自己的诉求和依据，避免因表述不清而影响维权效果。

综上所述，公司非法开除试用期员工且不想赔偿的行为是违法的。员工有权要求公司支付赔偿金，并可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。如果你正面临这样的问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。