银行对客户投诉不出具书面答复，这一行为是否合法，需分情况讨论：

1. 从法律法规的直接规定来看：

   • 目前，并没有明确的法律法规直接规定银行在接到客户投诉后，必须出具书面答复。银行处理客户投诉的方式和程序，更多是由银行内部的规章制度或者行业规范来调整的。但这并不意味着银行可以随意处理投诉，不给予任何形式的反馈。

2. 从消费者权益保护的角度来看：

   • 消费者在购买或使用银行服务过程中，享有知情权、公平交易权等基本权利。当消费者对银行服务有异议或投诉时，银行有义务对消费者的投诉进行及时、有效的处理，并给予合理的解释和答复。虽然这种答复不一定是书面的，但银行应当确保消费者能够明确了解投诉的处理结果和依据。
   • 如果银行对客户投诉不给予任何形式的答复，或者答复含糊其辞、无法让消费者满意，那么这可能构成对消费者权益的侵害。在这种情况下，消费者有权向相关监管部门投诉，要求银行给予合理的解释和答复。

3. 从合同关系和行业规范的角度来看：

   • 银行与客户之间存在一种合同关系，银行有义务按照合同约定提供服务，并处理客户在服务过程中遇到的问题。如果银行对客户投诉不给予书面答复，且这种不答复的行为违反了合同约定或者行业规范，那么银行可能需要承担相应的违约责任。
   • 此外，银行业作为一个高度规范的行业，通常会有一些行业规范或者自律准则来约束银行的行为。如果银行违反了这些规范或者准则，也可能会受到行业内部的处罚或者监管部门的监管。

法律建议：

• 如果您作为客户，对银行的服务有异议或投诉，但银行没有给出书面答复或者答复无法让您满意，您可以先尝试与银行进行进一步的沟通，要求银行给出更明确、更合理的解释和答复。
• 如果沟通无果，您可以向相关监管部门（如银保监会）进行投诉，要求监管部门介入调查并给出处理意见。
• 在整个过程中，建议您保留好相关的证据（如投诉记录、沟通记录等），以便在需要时能够证明自己的权益受到了侵害。

可能的法律后果：

• 如果银行对客户投诉不给予合理答复的行为被认定为违法或违规，银行可能会面临监管部门的处罚（如罚款、警告等）。
• 同时，如果这种行为给客户造成了实际损失（如经济损失、精神损害等），客户还有权要求银行承担相应的赔偿责任。

综上所述，银行对客户投诉不出具书面答复的行为是否合法，需结合具体情况和相关法律法规、行业规范进行综合判断。如果您对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。