机关食堂做饭工与机关之间一般存在劳动关系，但具体需根据实际情况判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、劳动关系的一般认定
根据《劳动合同法》第七条：“用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。”这意味着，只要机关食堂聘请了做饭工，并且做饭工实际提供了劳动，那么从用工之日起，机关与做饭工之间就建立了劳动关系。这种劳动关系受到法律的保护，机关需要遵守相关的劳动法律法规，如支付工资、提供社会保险等。
二、可能存在的例外情况
外包或劳务派遣：
- 如果机关食堂是外包给其他公司运营的，那么做饭工可能是与外包公司签订劳动合同，而不是与机关直接建立劳动关系。
- 另外，如果机关通过劳务派遣的方式雇佣做饭工，那么做饭工的劳动关系也是与劳务派遣公司建立的，而不是与机关。
非全日制用工：
- 如果做饭工是按照非全日制的方式工作，比如每天只工作几个小时，那么这种用工方式可能不构成标准的劳动关系，而是属于非全日制用工关系。但即便如此，机关也需要遵守非全日制用工的相关法律法规。
特殊身份或关系：
- 在极少数情况下，如果做饭工与机关之间存在特殊的身份或关系（如机关工作人员的家属且未签订劳动合同），那么可能需要根据具体情况来判断是否存在劳动关系。但这种情况较为罕见，且通常不符合劳动法律法规的规定。
三、法律建议
签订劳动合同：
- 无论机关食堂是自营还是外包，机关或相关用人单位都应当与做饭工签订劳动合同，明确双方的权利和义务。这有助于保护做饭工的合法权益，也有助于机关或用人单位规范用工管理。
遵守劳动法律法规：
- 机关或相关用人单位需要遵守相关的劳动法律法规，如支付工资、提供社会保险、保障劳动安全等。如果违反这些规定，做饭工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动争议仲裁。
及时咨询专业律师：
- 如果机关或做饭工对是否存在劳动关系有疑问，或者遇到劳动争议问题，建议及时咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供法律意见和帮助，维护双方的合法权益。
总结来说，机关食堂做饭工与机关之间一般存在劳动关系，但具体需根据实际情况判断。如果存在外包、劳务派遣或非全日制用工等特殊情况，可能需要进一步分析。无论如何，机关或相关用人单位都需要遵守劳动法律法规，保护做饭工的合法权益。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。