机关单位雇用人员之间是否构成劳动关系，需分情况讨论：

1. 机关单位与正式编制内人员的关系
   机关单位与其正式编制内的工作人员（如公务员、事业编制人员）之间，通常不构成《劳动合同法》所定义的劳动关系。这类人员与单位的关系受《公务员法》《事业单位人事管理条例》等特别法调整，其权利义务、争议解决机制（如申诉、复核、人事争议仲裁等）均与普通劳动关系不同。例如，公务员因考核、处分等引发的争议，需通过行政程序而非劳动仲裁解决。

2. 机关单位与编外人员的关系
   若机关单位通过签订劳动合同或形成事实劳动关系的方式雇用编外人员（如临时工、合同工、劳务派遣工等），则双方构成劳动关系，受《劳动合同法》保护。此时，编外人员享有与普通劳动者同等的权利，如工资支付、社会保险、休息休假、解除合同补偿等。若发生争议（如拖欠工资、违法解除合同），编外人员可直接向劳动仲裁机构申请仲裁。

关键区分点：

• 身份性质：正式编制内人员受特别法调整，编外人员受《劳动合同法》调整。
  
• 合同形式：正式编制内人员通常签订《公务员录用审批表》《事业单位聘用合同》等，编外人员签订《劳动合同》或形成事实劳动关系。
  
• 争议解决：正式编制内人员争议通过行政程序解决，编外人员争议通过劳动仲裁解决。

建议：

• 若您是机关单位的编外人员，且未签订劳动合同或存在劳动权益受损情况，建议收集工资条、工作证、考勤记录等证据，及时向劳动仲裁机构申请仲裁。
  
• 若您是机关单位正式编制内人员，因考核、处分等引发争议，需通过单位内部申诉、上级机关复核或人事争议仲裁等途径解决。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况提供详细解答。