结论前置：和劳务派遣公司签合同后离职，应向劳务派遣公司提出离职申请，同时建议与用工单位做好沟通。
详细分析
一、法律关系明确
在劳务派遣关系中，存在三方主体：劳务派遣单位（即与你签订劳动合同的公司）、用工单位（即你实际工作的公司）和劳动者（即你）。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳务派遣单位是用人单位，与你建立劳动关系；用工单位则是实际使用你劳动力的单位。因此，从法律关系上讲，当你想要离职时，应向与你建立劳动关系的劳务派遣单位提出离职申请。
二、离职流程建议
提前通知：
- 如果你还在试用期内，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，你需要提前三日以书面形式通知劳务派遣单位你的离职意愿。
- 如果你已经过了试用期，那么你需要提前三十日以书面形式通知劳务派遣单位。书面通知应包含你的辞职意愿、预计离职日期等关键信息，以确保通知内容清晰、准确。
与用工单位沟通：
- 虽然法律上你只需向劳务派遣单位提出离职申请，但出于工作交接和职场礼仪的考虑，建议你同时告知用工单位自己即将离职的消息。这样可以帮助用工单位提前安排工作交接，确保工作的连续性和稳定性。
办理离职手续：
- 在通知期限届满前，你应按照劳务派遣单位和用工单位的要求，与相关人员进行工作交接。交接内容包括但不限于手头正在进行的工作任务、重要文件资料、工作工具等。
- 完成工作交接后，你需要与劳务派遣单位办理离职手续，如退还工作服、工作证等物品，结清工资、社保等费用。劳务派遣单位会出具解除劳动合同的证明，你应妥善保管此证明，以备后续就业等需要。
三、注意事项
- 保留证据：在提出离职申请和办理离职手续的过程中，建议你保留好相关证据，如书面辞职信的送达回执、电子邮件发送记录等。这些证据可以在后续产生纠纷时作为你的有力支持。
- 遵守合同约定：在离职前，建议你仔细阅读与劳务派遣单位签订的劳动合同，了解其中关于离职的约定。如果合同中有特殊规定，如提前通知期限、违约金等，你需要遵守这些约定，以免引发不必要的纠纷。
- 友好沟通：离职过程中，建议你与劳务派遣单位和用工单位保持友好沟通，尽量协商解决可能遇到的问题。这样不仅可以减少纠纷的发生，还可以为你未来的职业发展留下良好的口碑。
可能的法律后果
如果你未按照法律规定和合同约定向劳务派遣单位提出离职申请，或者未办理好离职手续，可能会面临以下法律后果：
- 违约责任：如果合同中有关于离职的特殊约定，如提前通知期限、违约金等，你未遵守这些约定可能会构成违约，需要承担相应的违约责任。
- 影响未来就业：未办理好离职手续可能会影响你未来的就业。例如，如果劳务派遣单位出具了不良的离职证明，可能会对你后续找工作造成不利影响。
因此，我建议你按照法律规定和合同约定向劳务派遣单位提出离职申请，并办理好离职手续。如果你在离职过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。