若在行政拘留期间发现行为人有犯罪行为，司法机关会依法启动刑事诉讼程序来追究其刑事责任。具体来说，可以从以下几个角度来详细分析：

一、行政拘留与刑事责任的基本概念

行政拘留是一种行政处罚措施，主要是对违反治安管理等行为的制裁，其目的在于维护社会秩序和公共安全。而刑事责任则是指犯罪行为所应承担的法律后果，包括管制、拘役、有期徒刑、无期徒刑、死刑等严厉的法律制裁。两者在性质、目的和适用法律依据上均有所不同。

二、行政拘留期间发现犯罪行为的处理流程

1. 案件移送：若在行政拘留期间发现被拘留人涉嫌犯罪，公安机关会及时将案件移送至有管辖权的司法机关，如检察院或法院。

2. 侦查与审查起诉：司法机关接收案件后，会进行侦查、审查起诉等程序。侦查阶段，司法机关会收集相关证据，以确定犯罪事实是否存在以及犯罪嫌疑人的责任。审查起诉阶段，检察院会对案件进行审查，决定是否提起公诉。

3. 刑事诉讼程序：若司法机关认为构成犯罪，会按照刑事诉讼程序追究刑事责任。这包括立案、侦查、变更强制措施（如将行政拘留变更为刑事拘留）、移送审查起诉、审判等步骤。

三、行政拘留期限的折抵

在行政拘留期间发现犯罪行为并启动刑事诉讼程序后，会对行政拘留的期限进行折抵。具体来说，已经执行的行政拘留时间会被计入刑事处罚的期限之中。这是为了保障犯罪嫌疑人的合法权益，避免对其造成不必要的重复处罚。

四、可能涉及的特殊情况

1. 错误拘留：如果行政拘留所执行的是错误拘留，被拘留人有权申请国家赔偿。同时，对于因错误拘留而受到损害的，相关责任人员可能会被追究法律责任。若构成犯罪，也会被依法追究刑事责任。

2. 新发现的犯罪事实：若在行政拘留后，新发现的犯罪事实与之前的违法行为有牵连关系，司法机关会一并审查处理，确定是否需要按照刑法规定追究刑事处罚。

3. 逃避执行：当被行政拘留人逃避行政拘留执行，情节严重的，可能涉嫌构成妨碍执行公务等犯罪行为，会被依法追究刑事责任。

五、法律建议

1. 配合调查：若在行政拘留期间被发现有犯罪行为，应积极配合司法机关的调查和审查起诉工作，如实陈述事实，提供相关证据。

2. 寻求法律帮助：在整个过程中，可以寻求专业律师的法律帮助，以维护自己的合法权益。律师可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助犯罪嫌疑人更好地应对刑事诉讼程序。

3. 了解法律后果：应充分了解自己的行为可能带来的法律后果，包括刑事处罚的种类和期限等。这有助于犯罪嫌疑人更好地规划自己的未来，并采取相应的措施来减轻或避免法律后果。

在整个过程中，司法机关会严格依据刑事诉讼法等相关法律规定进行操作，以保障当事人的合法权益。如果有任何法律问题，都可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。