1. 核心结论：当事人被刑事拘留后，行政机关对行政违法行为的处理需分情况讨论，主要取决于刑事拘留与行政违法行为的关联性、是否构成犯罪以及行政处罚与刑事处罚的竞合关系。

2. 具体分析：

   • 情况一：刑事拘留与行政违法行为直接相关，且涉嫌犯罪
     若当事人的行为同时违反行政法规和刑法（如故意伤害、盗窃等），行政机关在发现涉嫌犯罪后，应立即将案件移送司法机关（公安机关或检察院），并终止行政调查程序。此时，行政处罚权让渡给刑事司法程序，行政机关不得再对同一行为作出行政处罚（如罚款、拘留等），但可协助司法机关调查取证。
     法律依据：《行政处罚法》第27条、《刑事诉讼法》第110条。

   • 情况二：刑事拘留与行政违法行为无关，或虽相关但不构成犯罪
     若刑事拘留是针对其他独立犯罪行为（如当事人因A事被刑拘，但B事仅涉及行政违法），或司法机关认定行为不构成犯罪但违反行政法规，行政机关可继续或重新启动行政调查程序，依法作出行政处罚（如警告、罚款、行政拘留等）。
     注意：若行政拘留与刑事拘留期限重叠，需根据《治安管理处罚法》第21条，对已执行刑事拘留的期间折抵行政拘留期限。

   • 情况三：行政处罚与刑事处罚的竞合处理
     若当事人最终被判处刑罚（如有期徒刑、罚金），行政机关已作出的行政处罚（如罚款）可能被吸收或折抵。例如：

     • 罚金与罚款竞合时，已缴纳的罚款可折抵罚金；
       
     • 行政拘留与拘役/有期徒刑竞合时，行政拘留1日折抵拘役/有期徒刑1日。
       法律依据：《行政处罚法》第28条、《刑法》第52条。

3. 实务建议：

   • 对当事人而言：若被刑拘，应尽快委托律师介入，区分刑事与行政程序，避免重复处罚或权利受损。
     
   • 对行政机关而言：需严格遵循“刑事优先”原则，避免以行政处罚代替刑事追责，否则可能面临程序违法风险。
     

如有进一步疑问（如具体案件类型、程序衔接细节），可直接向我咨询，我会结合案情详细分析。