食品过期被投诉后，即使已经与消费者私了，工商部门（现一般为市场监督管理部门）仍然有权依法对商家进行行政处罚。以下从多个角度对此问题进行详细分析：
一、私了的性质与局限
私了的本质：私了是商家与消费者之间就个人损失达成的民事和解协议，它主要解决的是双方之间的民事赔偿问题。然而，这种私了并不能掩盖或消除商家销售过期食品的违法行为。
无法替代行政处罚：行政部门对商家销售过期食品的行为进行处罚，是出于维护公共利益和市场秩序、保障广大消费者合法权益的考虑。这与消费者和商家之间的民事赔偿是两个不同层面的问题，私了不能替代行政处罚。
二、工商部门处罚的依据与措施
相关法律规定：
- 根据《中华人民共和国食品安全法》第三十四条，禁止生产经营超过保质期的食品。
- 《食品安全法》第一百二十四条规定，对于经营超过保质期的食品，尚不构成犯罪的，由县级以上人民政府食品安全监督管理部门进行处罚。
处罚措施：
- 没收违法所得与违法食品：工商部门会没收商家因销售过期食品而获得的违法所得及剩余过期食品，以防止其继续销售。
- 罚款：根据违法经营的食品货值金额，处以不同额度的罚款。货值金额不足一万元的，处五万元以上十万元以下罚款；货值金额一万元以上的，处货值金额十倍以上二十倍以下罚款。
- 吊销许可证：对于情节严重的过期食品销售行为，如造成消费者食物中毒等严重后果，工商部门有权吊销商家的食品经营许可证。
三、考量因素
- 情节轻重：工商部门在执法时会考虑商家的违法情节，如是否为初次违法、过期食品数量、是否造成严重后果以及整改措施等，从而在法定处罚幅度内从轻或减轻处罚。但一般不会免除处罚。
- 社会影响：若商家销售过期食品的行为引起广泛社会关注或对消费者健康造成严重危害，或存在多次、故意违法等恶劣情节，工商部门将依法从重处罚。
四、消费者权益保护
- 即使商家与消费者已经私了，如果商家的行为构成欺诈，消费者仍可根据《中华人民共和国消费者权益保护法》要求商家进行赔偿。赔偿金额为购买过期食品价款的三倍；增加赔偿的金额不足五百元的，为五百元。
五、建议与提醒
- 商家应严格遵守食品安全法律法规：确保销售的食品符合安全标准，定期检查商品保质期，避免销售过期食品。
- 加强员工培训：提高员工对食品安全的认识和重视程度，有效避免销售过期食品等违法行为的发生。
- 消费者应了解自己的权益：在遇到类似问题时，可依法要求赔偿，并可向工商部门投诉举报。
总结：商家应严格遵守食品安全法律法规，确保销售的食品符合安全标准。即使与消费者达成私了协议，也不能免除其可能面临的行政处罚责任。如果您或商家在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。