针对您首付交了半个月但开发商还没有签合同的情况，您可以按照以下步骤来维护自己的合法权益：
一、初步沟通与协商
- 尝试友好沟通：
- 首先，建议您与开发商进行友好沟通，了解他们不签合同的具体原因。可能存在一些误会或临时问题导致签约延迟。
- 通过面对面交流、电话或书面函件等方式，明确表达您对尽快签订合同的关切和期望，并协商确定一个合理的签约时间。
二、保留关键证据
- 收集并保存证据：
- 确保您保存所有与购房相关的证据，包括首付款的收据、转账记录、与开发商的沟通记录（如聊天记录、通话录音、书面函件）等。
- 这些证据在后续的法律程序中可能起到关键作用，是维权的重要依据。
三、书面催告与通知
- 发送书面催告函：
- 如果沟通无果，您可以向开发商发送书面催告函，要求他们在一定期限内签订合同。
- 催告函中应明确指出您已支付首付款的事实、要求签订合同的具体期限，并声明逾期不签的后果（如解除合同、要求双倍返还定金、退还首付款及支付违约赔偿等）。
- 催告函最好通过邮政特快专递（EMS）发送，并保留寄送凭证和回执，以证明您已履行通知义务。
四、向相关部门投诉
向房地产管理部门投诉：
- 若开发商经催告后仍不签订合同，您可以向当地的房地产管理部门投诉。
- 房地产管理部门有权对开发商的行为进行监督和调查，并可能采取相应的行政措施促使开发商履行合同签订义务。
向消费者协会投诉：
- 您还可以向当地的消费者协会投诉，寻求他们的帮助和支持。
- 消费者协会可能会介入调解，协助您与开发商达成和解。
五、寻求法律援助与咨询
- 咨询专业律师：
- 考虑咨询专业的律师或法律机构，了解您的法律权益和可能的解决方案。
- 律师可以帮助您分析合同条款、评估法律风险，并提供具体的法律建议。
六、法律途径维权
解除合同并退款：
- 根据《民法典》等相关法律法规，如果开发商长时间不签订合同且无法给出合理理由，导致合同目的无法实现，您有权解除购房意向。
- 您可以向开发商发送解除合同通知函，要求他们在一定期限内退还首付款及相应利息（一般按同期银行贷款利率计算）。
- 若开发商拒绝退款，您可以向法院提起诉讼，要求法院判令开发商退还首付款及支付违约赔偿。
要求继续履行合同：
- 如果您仍希望购买该房屋，也可以向法院起诉，要求开发商继续履行合同即签订正式的购房合同。
- 法院会根据具体情况判断是否支持您的诉求。若法院判决开发商继续履行合同而其仍不履行，您可以申请强制执行。
诉讼或仲裁：
- 必要时，根据合同约定或相关法律法规，您可以向法院提起诉讼或申请仲裁，要求开发商承担违约责任并赔偿损失。
- 在诉讼或仲裁过程中，提供充分证据证明开发商的违约行为及您的损失情况是关键。
七、其他途径
- 除了诉讼和仲裁外，您还可以考虑通过房地产行业协会等组织进行投诉和调解。这些组织可能具有权威性和影响力，有助于更有效地解决纠纷。
在整个维权过程中，请保持冷静并采取积极措施。每一步都需谨慎处理，并确保保留好相关证据。同时，咨询专业人士的意见是明智之举，以确保您的权益得到充分保护。