在私人厂干活手指受伤后的赔偿问题，确实需要根据您与雇主之间的具体法律关系以及各自的过错情况来确定。以下是一个详细且有条理的解答，希望能帮助您更好地理解并处理这个问题。

一、明确法律关系

首先，您需要明确自己与雇主之间是哪种法律关系，这通常包括雇佣关系、加工承揽关系或劳务关系，甚至在某些情况下可能构成劳动关系。

1. 雇佣关系：如果您是直接受雇于雇主，按照其指示进行工作，那么您与雇主之间就构成了雇佣关系。

2. 加工承揽关系：如果您是按照雇主的要求完成一定的工作，并交付工作成果，那么您与雇主之间可能构成加工承揽关系。

3. 劳务关系：如果您提供的是劳务服务，而雇主支付的是劳务报酬，那么您与雇主之间就是劳务关系。

4. 劳动关系：如果雇主是个体工商户等组织，并且您的工作符合劳动关系的特征（如长期、稳定的工作关系），那么您在工作中受伤可能构成工伤。

二、确定赔偿责任

根据不同的法律关系，赔偿责任的划分也会有所不同。

1. 雇佣关系：

   • 雇主应当承担赔偿责任，包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。
   • 您需要尽快就医并保留好所有医疗记录和费用清单，同时收集证据证明雇佣关系，如工资支付记录、工作时长和工作内容等。

2. 加工承揽关系：

   • 赔偿责任根据双方的过错程度来承担。
   • 您需要提供合同、协议或其他相关证据来证明双方的关系以及各自的责任，同时收集现场照片、目击者证言等以证明受伤情况和责任方。

3. 劳务关系：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，提供劳务一方因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。
   • 赔偿项目与标准与雇佣关系相似，但需要先确定双方的过错责任。

4. 劳动关系（工伤）：

   • 如果构成工伤，雇主应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 赔偿项目包括工伤保险待遇，如医疗费、康复费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。

三、赔偿途径

确定了赔偿责任后，您可以通过以下途径来寻求赔偿：

1. 协商解决：与雇主进行沟通，尝试达成一致意见并签订赔偿协议。

2. 调解：如果协商无果，您可以请求有关部门或第三方调解机构进行调解，争取达成调解协议。

3. 诉讼：如果协商和调解都无果，您可以向法院起诉，要求根据法律规定和工伤鉴定结果进行赔偿。

四、建议与提醒

• 尽快咨询法律专业人士：为了保障您的权益，建议您尽快咨询律师或法律援助机构，获取针对性的建议。

• 收集相关证据：在处理赔偿问题时，证据是非常重要的。您需要收集医疗记录、费用清单、工资单、证人证言等相关证据，以便后续维权使用。

• 保持冷静与理性：在处理赔偿问题时，务必保持冷静和理性，遵循法律法规的规定进行操作。不要采取过激行为或违法手段来维护自己的权益。

希望以上解答能够帮助您更好地理解并处理在私人厂干活手指受伤后的赔偿问题。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询。