结论前置：合同到期后，双方同意延续的，主要依据《中华人民共和国民法典》中关于合同订立与履行的相关规定来处理。以下从法律条文、实际操作及注意事项三个角度进行详细分析。

一、法律条文支撑

1. 《中华人民共和国民法典》第四百六十五条：依法成立的合同，受法律保护。依法成立的合同，仅对当事人具有法律约束力，但是法律另有规定的除外。此条款确立了合同的基本法律地位，为合同到期后双方同意延续提供了法律基础，即原合同在双方同意下可继续有效。

2. 《中华人民共和国民法典》第五百四十三条：当事人协商一致，可以变更合同。合同到期后，双方同意延续，实质上是对原合同期限的变更，符合该条款规定的“当事人协商一致，可以变更合同”的情形。

3. 《中华人民共和国民法典》第五百五十七条：有下列情形之一的，债权债务终止：…（六）法律规定或者当事人约定终止的其他情形。合同到期本属于债权债务终止的情形之一，但双方同意延续，则排除了该条款的适用，使合同继续有效。

二、实际操作建议

1. 书面协议：尽管口头协议在法律上也可能有效，但为了避免未来可能出现的纠纷，建议双方签订书面协议，明确延续的期限、条件等关键条款。

2. 明确延续内容：在书面协议中，应详细列明原合同的哪些条款继续有效，哪些条款需要修改或补充，以及新合同的期限等。

3. 遵守原合同义务：在合同延续期间，双方应继续履行原合同中规定的义务，除非双方另有约定。

三、注意事项

1. 合同变更的合法性：确保合同延续的变更内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗。

2. 通知义务：如果合同延续涉及到第三方利益（如担保人），应及时通知第三方，并确保其同意或不受影响。

3. 证据保留：保留好合同延续的书面协议及其他相关证据，以备未来可能出现的纠纷时作为证明。

举例说明：假设甲乙双方签订了一份为期一年的租赁合同，合同到期后，双方均表示愿意继续租赁关系。此时，甲乙双方可以签订一份书面协议，明确租赁期限再延续一年，租金、押金等条款保持不变或根据双方协商进行修改。这份书面协议就是合同延续的法律凭证，双方应继续按照协议履行各自义务。

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