当您遇到对方不给开具增值税专用发票的情况时，可以按照以下步骤来处理，以确保您的合法权益得到保障：
一、了解法律规定与对方义务
首先，您需要明确的是，根据《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，收款方有义务向付款方开具发票，这自然包括增值税专用发票。因此，对方拒绝开具发票是违反法律规定的。
二、沟通协商与明确要求
初步沟通：
- 尝试与对方进行友好沟通，了解他们不开发票的具体原因。可能是对方对发票开具流程不熟悉，或者存在某些误解，也有可能是对方内部财务流程的问题。
明确表达需求：
- 向对方清晰、明确地表达您获取发票的合法需求。强调开具发票是对方的法定义务，并设定一个合理的开票期限，要求对方在此期限内开具发票。
三、书面催告与保留证据
书面函件：
- 如果口头沟通没有效果，您应该发送一份书面函件进行催告。在函件中，详细列出交易信息（如交易日期、交易内容、交易金额等）、开票要求以及合理的开票期限。
- 通过可追溯的方式（如EMS）发送这份函件，并保留好寄送凭证和物流信息，以备后续需要。
证据收集：
- 在整个沟通过程中，务必保留好所有与交易相关的证据，包括交易合同、付款记录、沟通记录等。这些证据将在后续的投诉或法律诉讼中起到关键作用。
四、向税务机关投诉举报
准备材料：
- 收集并整理好证明交易真实发生的资料，如合同、付款凭证、送货单等。这些资料将用于证实对方未按规定开具发票的事实。
投诉途径：
- 您可以通过当地税务机关的官方网站、纳税服务热线（12366）或办税服务厅等渠道进行投诉。在投诉时，详细说明情况，并提供相关证据。
- 税务机关将依法展开调查，并责令对方限期改正。如果对方拒不改正，税务机关还可以对其处以罚款。
五、法律途径解决与法律援助
民事诉讼：
- 如果因为对方不开具发票而导致您遭受了经济损失，您可以考虑提起民事诉讼，要求对方赔偿损失。在提起诉讼时，您需要提供充分的证据来证明损失的存在以及损失与对方不开具发票之间的因果关系。
刑事控告：
- 在极少数情况下，如果对方存在虚开发票、逃避缴纳税款等严重违法行为，并且这些行为达到了刑事立案的标准，您可以向公安机关报案，追究对方的刑事责任。
法律援助：
- 如果您在维权过程中遇到了困难，或者需要专业的法律支持，您可以寻求法律援助机构或律师的帮助。他们可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务。
六、总结与建议
处理对方不给开增值税专用发票的问题时，您应该综合运用沟通协商、书面催告、向税务机关投诉举报以及法律途径等多种手段。在整个过程中，保留好相关证据是维护自身权益的关键。同时，了解法律规定并明确对方义务，将有助于您更有效地解决问题。希望这些建议能对您有所帮助。