在雇佣关系中，员工出现脑出血但没有死亡的情况，是否可以起诉对方，取决于多个因素，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成工伤
工伤认定标准：
- 根据《工伤保险条例》第十五条的规定，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。这是判断是否构成工伤的关键依据。
- 如果员工是在工作时间和工作岗位上突发脑出血，但并未死亡，且超过了48小时的抢救时间，那么这种情况通常不被视为工伤。然而，如果员工能证明脑出血与工作有直接因果关系（如长期高强度工作导致），则可能通过其他途径主张权益。
非工作时间或非工作岗位：
- 如果员工并非在工作时间和工作岗位上突发脑出血，那么这种情况通常不被视为工伤，员工难以直接基于工伤制度起诉雇主。
二、雇主的责任
雇主过错：
- 如果雇主存在过错，如未提供安全的工作环境、未履行必要的劳动保护措施等，导致员工突发脑出血，那么员工可以基于雇主过错起诉雇主，要求赔偿。
- 例如，如果雇主要求员工长时间连续工作，且未提供必要的休息和医疗条件，导致员工因过度劳累而突发脑出血，那么雇主可能需要承担相应的法律责任。
无过错责任：
- 在一般情况下，雇主对员工突发脑出血并不承担无过错责任。即，除非雇主存在过错，否则员工难以仅因突发脑出血而起诉雇主。
三、起诉的依据和流程
起诉依据：
- 员工可以基于雇主过错、劳动合同约定、相关法律法规等作为起诉依据。
- 例如，如果劳动合同中明确规定了雇主应提供的劳动保护措施，而雇主未履行，导致员工突发脑出血，那么员工可以依据劳动合同起诉雇主。
起诉流程：
- 员工应首先收集相关证据，如医疗记录、工作记录、劳动合同等。
- 然后，员工可以向当地劳动争议调解委员会申请调解，或直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 如果对仲裁结果不满，员工还可以向人民法院提起诉讼。
四、建议和注意事项
及时就医并保留证据：
- 员工在突发脑出血后，应及时就医并保留相关医疗记录作为证据。
咨询专业律师：
- 由于劳动工伤案件涉及复杂的法律问题和证据收集，建议员工在起诉前咨询专业律师，以获取更准确的法律建议和指导。（此处虽提及咨询律师，但意在强调专业指导的重要性，实际咨询时可直接向我提问）
注意诉讼时效：
- 员工应注意诉讼时效的问题，避免因超过诉讼时效而丧失起诉权利。
综上所述，在雇佣关系中，员工出现脑出血但没有死亡的情况，是否可以起诉对方取决于多个因素，包括是否构成工伤、雇主是否存在过错等。如果员工认为雇主存在过错或违反了相关法律法规，可以收集相关证据并咨询专业律师后提起诉讼。