关于学校辞退临聘员工是否需要向教育局申请的问题，这主要取决于当地的具体管理规定和流程。不过，我可以根据一般情况和您提供的参考信息，给出一个较为全面的解答。
首先，我们需要明确的是，临聘员工与学校之间的关系通常是通过劳动合同来界定的。这意味着，辞退临聘员工的行为，本质上是一种解除劳动合同的行为，需要遵循《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。
在您提供的参考信息中，特别是《廉江市公办中小学校临聘教师管理办法》中，我们可以看到一些关于临聘教师管理的规定。虽然这个管理办法是针对廉江市的，但它提供了一些有价值的参考。例如，该办法中提到，临聘教师的管理通常采取政府购买服务的方式，与第三方机构签订劳动合同。在这种情况下，辞退临聘员工可能更多地涉及到与第三方机构的沟通和协调，而不是直接向教育局申请。
然而，这并不意味着教育局在辞退临聘员工的过程中没有角色。实际上，教育局作为教育行政主管部门，对于学校的人事管理有一定的监督和指导职责。特别是在一些地区，学校辞退临聘员工可能需要向教育局报备或申请批准，以确保辞退行为的合法性和合规性。
另外，从您提供的另一个参考信息中，我们可以看到正式在编教师辞职需要向学校书面申请，并经学校集体研究做出决定，然后报教育局按程序上报人社、编制、财政部门办理相关手续。虽然这针对的是正式在编教师，但临聘员工的辞退流程在某种程度上可能与之类似，特别是当涉及到需要教育局协调或批准的事项时。
综合以上分析，我给出的建议是：
查阅当地规定：首先，您需要查阅当地教育局或学校关于临聘员工管理的具体规定和流程，以了解辞退临聘员工是否需要向教育局申请。
与学校沟通：其次，您可以与学校的人事部门或相关负责人进行沟通，了解辞退临聘员工的具体流程和所需材料。
遵循法律程序：无论是否需要向教育局申请，辞退临聘员工都需要遵循《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，确保辞退行为的合法性和合规性。
保持沟通与协调：在辞退过程中，与临聘员工、第三方机构（如果适用）以及教育局保持密切的沟通与协调，以确保辞退工作的顺利进行。