未签订劳动合同的外聘老师是否可以随时辞职，需视具体情况而定，以下从不同角度进行分析：

一、试用期内的特殊情况

根据《中华人民共和国劳动法》第三十二条，劳动者在试用期内可以随时通知用人单位解除劳动合同。这意味着，如果外聘老师处于试用期内，且未签订正式劳动合同，理论上可以随时提出辞职。但需注意，即使未签订书面合同，若双方已形成事实劳动关系，且存在试用期约定，该条款仍可能适用。不过，实践中需结合具体证据（如录用通知、工作记录等）证明试用期存在。

二、用人单位存在过错的情况

若用人单位存在以下行为，劳动者可随时解除劳动合同：

1. 以暴力、威胁或非法限制人身自由强迫劳动；
2. 未按照劳动合同约定支付劳动报酬或提供劳动条件（即使未签订书面合同，若能证明双方存在事实劳动关系及约定内容，仍可适用）。

举例：若学校长期拖欠工资，或强制要求老师超负荷工作且拒绝支付加班费，外聘老师可立即辞职并主张经济补偿。

三、非试用期且用人单位无过错的情况

若外聘老师已过试用期，且用人单位不存在上述过错，则不能随时辞职。根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者需提前三十日以书面形式通知用人单位（试用期提前三日）。未签订书面合同不影响劳动关系存续，编外老师仍需遵守法定辞职程序。

法律后果：若擅自离职，可能构成违法解除劳动合同，需承担以下责任：

1. 赔偿用人单位招录费用、培训费用等直接损失；
2. 赔偿因教学任务中断导致的经济损失（如学校需临时聘请代课老师的费用）；
3. 若劳动合同中有约定违约金条款，可能需支付违约金。

四、实务建议

1. 固定劳动关系证据：即使未签订书面合同，也应保留工作证、工资条、考勤记录、教学任务安排等证据，以证明事实劳动关系存在。
2. 书面通知辞职：无论是否签订合同，建议以书面形式（如邮件、短信）通知用人单位，并保留送达证据。
3. 办理工作交接：辞职前应完成教学任务交接，避免因工作未交接导致学校损失，进而被追究责任。
4. 主张未签合同的双倍工资：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月未签书面合同的，劳动者可主张双倍工资差额。

总结：未签合同的外聘老师能否随时辞职，需结合试用期、用人单位过错等因素综合判断。建议根据实际情况选择合法方式辞职，并保留相关证据以维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。