针对您在下班途中把手摔断的情况，我们可以从以下几个方面来详细分析和处理：
一、判断是否符合工伤认定条件
首先，您需要明确是否符合工伤认定的条件。根据相关规定，在合理的上下班时间及合理路线上，若受到非本人主要责任的交通事故（比如被机动车碰撞且机动车负主要责任）或者遭受城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，通常可认定为工伤。但您的情况是自行摔断，并未明确提及是否涉及交通事故或其他非本人主要责任的事故，因此这一点需要您进一步回忆和确认事故的具体情况。
二、若不符合工伤认定条件
与雇主协商：
- 如果您的受伤情况不符合工伤认定的条件，那么您可以首先尝试与雇主（即您的私人老板）进行协商，看是否能够获得一定的补偿或帮助。
追溯第三方责任：
- 类似于参考信息中的案例，如果您的受伤是由于第三方（如道路施工方）的过错导致的，那么您可以考虑向第三方追究责任。这需要您收集相关证据，如事故现场的照片、目击者的证言等，以证明第三方的过错。
法律途径：
- 如果协商无果，且没有明确的第三方责任，您还可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这可能包括向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向法院提起诉讼。但需要注意的是，由于您的情况可能不涉及劳动关系中的工伤问题，因此法律途径的具体适用性和效果需要您进一步咨询专业律师。
三、若符合工伤认定条件
申请工伤认定：
- 如果您确认自己的受伤情况符合工伤认定的条件，那么您应该尽快向用人单位所在地统筹地区的社会保险行政部门提出工伤认定申请。申请时需要提交相关材料，如事故报告、医疗诊断证明等。
享受工伤待遇：
- 一旦您的受伤被认定为工伤，您就可以依法享受工伤待遇，包括医疗费用的报销、停工留薪期的工资等。
与雇主协商赔偿：
- 在享受工伤待遇的同时，您也可以与雇主协商额外的赔偿事宜。如果雇主未为您购买工伤保险，那么根据相关规定，雇主可能需要承担相应的赔偿责任。
四、建议与注意事项
及时收集证据：
- 无论您的受伤情况是否符合工伤认定的条件，及时收集相关证据都是非常重要的。这包括事故现场的照片、医疗诊断证明、目击者的证言等。
咨询专业律师：
- 由于工伤认定和赔偿问题涉及复杂的法律关系和程序，因此建议您在处理过程中咨询专业律师的意见和帮助。
保持沟通：
- 在与雇主协商或通过法律途径解决问题时，保持与雇主的沟通是非常重要的。这有助于双方更好地理解彼此的需求和立场，从而找到更合理的解决方案。
综上所述，针对您在下班途中把手摔断的情况，您需要首先判断是否符合工伤认定的条件，然后根据实际情况选择合适的处理方式。无论选择哪种方式，及时收集证据和咨询专业律师都是非常重要的。