若在私人超市打工导致手受一级伤，可按以下步骤处理并主张相应权益：

1. 及时就医并保留医疗证据
   立即前往正规医院治疗，确保医生在病历中明确记录受伤时间、地点、原因（如“工作中被货物砸伤”），并保留所有医疗票据、诊断证明、用药清单等。这些是后续主张赔偿的核心证据。

2. 确认劳动关系性质

   • 若与超市签订劳动合同：属于劳动关系，可申请工伤认定。根据《工伤保险条例》，一级伤残可享受一次性伤残补助金（27个月本人工资）、伤残津贴（每月本人工资的90%，直至退休）等长期待遇。
     
   • 若未签合同但存在事实劳动关系：可通过工资流水、工作证、同事证言等证明劳动关系，同样可申请工伤认定。
     
   • 若为临时工或劳务关系：需按《民法典》中“提供劳务者受害责任”主张赔偿，超市需根据过错程度（如是否提供安全环境、是否培训操作规范）承担相应责任。

3. 申请工伤认定（劳动关系适用）
   自受伤之日起1年内，向当地社保部门提交工伤认定申请（需材料：劳动合同、病历、事故证明等）。认定后，可享受工伤保险基金支付的医疗费、康复费、辅助器具费等，以及一次性伤残补助金和伤残津贴。

4. 若超市未缴工伤保险
   根据《工伤保险条例》第62条，超市仍需按工伤保险待遇标准支付赔偿。若超市拒绝，可申请劳动仲裁或向法院起诉。

5. 主张人身损害赔偿（劳务关系适用）
   若为劳务关系，可直接起诉超市，要求赔偿医疗费、误工费、护理费、残疾赔偿金（按一级伤残标准，为当地上年度人均可支配收入×20年×100%）等。需注意：若自身存在过错（如违规操作），可能需承担部分责任。

6. 协商或诉讼路径选择

   • 协商：优先与超市沟通，明确赔偿项目和金额（可参考工伤保险或人身损害赔偿标准），签订书面协议。
     
   • 诉讼：若协商无果，可向法院起诉。劳动关系案件需先申请劳动仲裁，对仲裁结果不服再起诉；劳务关系案件可直接起诉。

关键提醒：

• 保留所有与受伤相关的证据（如现场照片、监控录像、证人联系方式）；
  
• 及时咨询律师计算具体赔偿金额（如伤残津贴需结合工资水平、当地标准等）；
  
• 若超市拒绝配合，可向劳动监察部门投诉或申请法律援助。
  

如有进一步细节（如是否签合同、受伤具体原因等），可随时补充，我会为您细化分析。