结论前置：护士与医院人事部签订的3至5年期限劳动合同到期后，存在续签、不续签但支付经济补偿、不续签且无经济补偿三种处理方式，具体如下：

1. 续签劳动合同：

   • 双方协商一致：若医院与护士均同意继续合作，可重新签订劳动合同，明确新的合同期限、工作内容、薪资待遇等条款。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。但此规定适用于连续订立两次固定期限合同后的情形，对于首次或第二次固定期限合同到期，双方仍有权选择是否续签。

2. 不续签但支付经济补偿：

   • 医院提出不续签：若医院因业务调整、人员优化等原因决定不与护士续签劳动合同，应依法向护士支付经济补偿。
   • 经济补偿标准：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

3. 不续签且无经济补偿：

   • 护士提出不续签：若护士因个人原因（如职业规划、家庭因素等）决定不与医院续签劳动合同，则医院无需支付经济补偿。
   • 特殊情况：若医院存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，导致护士提出解除劳动合同的，医院仍需支付经济补偿。但此情况不属于合同到期不续签的范畴，而是因医院违约导致的劳动合同解除。

建议与注意事项：

• 在合同到期前，医院与护士应就续签事宜进行充分沟通，明确双方意愿。
• 若决定不续签，医院应依法及时支付经济补偿，避免引发劳动争议。
• 护士在签订新合同时，应仔细阅读合同条款，确保自身权益得到保障。
• 如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师，以维护自身合法权益。