核心结论：私立学校聘请的老师死亡后的赔偿问题，需根据死亡原因、劳动关系性质及法律规定综合判断，具体赔偿项目和标准需结合实际情况确定。以下是分情况说明：

1. 因工作原因死亡（工伤情形）

• 赔偿依据：若老师死亡与工作直接相关（如工作期间突发疾病死亡、因工受伤导致死亡等），可认定为工伤，适用《工伤保险条例》。
• 赔偿项目：
  • 一次性工亡补助金：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍（2024年标准约98万元，具体以最新数据为准）。
  • 丧葬补助金：6个月统筹地区上年度职工月平均工资。
  • 供养亲属抚恤金：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿在此基础上增加10%。
• 责任主体：私立学校需承担工伤保险责任，若未缴纳工伤保险，由学校全额支付赔偿。

2. 非因工作原因死亡（非工伤情形）

• 赔偿依据：若死亡与工作无关（如自身疾病、意外事件等），需区分劳动关系性质：
  • 劳动关系：学校需按《劳动合同法》支付非因工死亡待遇，包括：

       - **丧葬补助费**：通常为当地社会平均工资的3-6个月（具体以地方规定为准）。
       - **一次性救济金/抚恤金**：部分地区规定为死者生前工资的若干倍数（如10-20个月）。
       - **供养直系亲属生活困难补助**：按月发放，标准因地而异。
    

  • 劳务关系：若老师与学校为劳务关系（如退休返聘、兼职等），学校一般无需承担法定赔偿，但可基于人道主义或合同约定给予补偿。

3. 学校未依法缴纳社保的特殊情形

• 法律后果：若学校未为老师缴纳工伤保险或养老保险，导致无法享受工伤或非因工死亡待遇，学校需承担全部赔偿责任。
• 赔偿范围：包括但不限于工伤待遇、非因工死亡待遇及可能产生的行政处罚（如社保部门责令补缴、罚款等）。

4. 第三方侵权导致的死亡

• 赔偿依据：若死亡由第三方（如交通事故、他人故意伤害等）造成，老师家属可同时主张：
  • 工伤赔偿：若符合工伤条件，学校需支付工伤待遇。
  • 侵权赔偿：向第三方主张医疗费、丧葬费、死亡赔偿金、被扶养人生活费等（按《民法典》侵权责任编计算）。
• 注意：工伤赔偿与侵权赔偿可部分兼得（如医疗费、丧葬费不可重复主张，但死亡赔偿金与工亡补助金可同时主张，具体以地方规定为准）。

行动建议

1. 固定证据：立即收集死亡证明、劳动关系证明（劳动合同、工资记录等）、工作记录（如考勤、工作安排）等材料。
2. 申请工伤认定：若符合工伤条件，学校或家属应在30日内向社保部门申请工伤认定（逾期可由家属申请）。
3. 协商或诉讼：根据死亡原因和责任主体，与学校协商赔偿方案；协商不成可申请劳动仲裁或提起民事诉讼。
4. 咨询专业律师：赔偿项目和标准因地而异，建议携带材料详细咨询，以确保权益最大化。

温馨提示：法律程序具有时效性，建议尽快处理，避免因拖延导致权利丧失。如有进一步问题，可直接向我提问，我将结合具体案情为您详细解答。