结论前置：公司以“监督履职不到位，给公司带来影响”为由提出解除劳动合同，若符合法定解除条件且程序合法，则属于合法解除；若不符合法定条件或程序违法，则可能构成违法解除，员工有权要求赔偿。
一、关于解除劳动合同的性质
合法解除：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形下，有权解除劳动合同。若公司能证明员工“监督履职不到位”且该行为确实给公司带来了重大影响或损害，同时公司已按照法定程序（如提前通知、听取员工意见等）进行解除，则该解除行为属于合法解除。
- 例子：假设某员工负责监督生产流程，因疏忽大意导致生产事故，给公司造成重大经济损失。公司依据内部规章制度，经过合法程序后解除与该员工的劳动合同，这属于合法解除。
违法解除：
- 若公司无法证明员工“监督履职不到位”的行为达到了严重违反规章制度或给公司造成重大损害的程度，或者公司未按照法定程序进行解除，则该解除行为可能构成违法解除。
- 例子：若公司仅凭主观臆断或轻微失误就解除与员工的劳动合同，且未提前通知员工或听取员工意见，这可能构成违法解除。
二、员工的权利与救济途径
要求继续履行合同：
- 若员工认为公司的解除行为违法，且希望继续在公司工作，可以要求公司继续履行劳动合同。
要求支付赔偿金：
- 若员工不希望继续在公司工作，或者公司无法继续履行合同，员工有权要求公司支付赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。经济补偿金根据员工在公司的工作年限和工资水平计算。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2；经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年）。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 若员工与公司就解除劳动合同的合法性或赔偿金等问题无法达成一致，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
三、建议与注意事项
保留证据：
- 员工应保留与解除劳动合同相关的所有证据，如公司解除劳动合同的通知、内部规章制度、工资单、工作记录等，以便在需要时证明自己的权益。
及时咨询专业律师：
- 劳动纠纷涉及复杂的法律关系和程序，员工在遇到此类问题时应及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的权益。当然，您现在就可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。
注意时效：
- 员工在申请劳动仲裁或提起诉讼时，应注意时效问题。根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。