如电梯公司未与业主签订合同即开始施工，该行为存在法律风险，业主应尽快与电梯公司协商补签合同或采取其他措施保护自身权益。具体分析如下：

一. 电梯公司未签订合同即施工的法律风险

1. 合同是明确双方权利义务的重要依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同是民事主体之间设立、变更、终止民事法律关系的协议。在老旧小区加装电梯的项目中，合同是明确电梯公司施工范围、质量标准、交付时间以及业主支付款项等重要事项的法律文件。
2. 无合同施工可能导致纠纷难以解决：若电梯公司在未与业主签订合同的情况下即开始施工，一旦在施工过程中或交付后出现质量问题、延期交付或其他纠纷，双方可能因缺乏明确的合同条款而难以协商解决，甚至可能引发诉讼。

二. 业主应采取的措施

1. 尽快与电梯公司协商补签合同：业主应尽快与电梯公司进行沟通，明确双方的权利义务，并补签正式的书面合同。合同内容应涵盖施工范围、质量标准、交付时间、付款方式、违约责任等关键条款。
2. 要求电梯公司提供相关资质证明：在补签合同前，业主应要求电梯公司提供相关的资质证明，如特种设备（电梯）安装资质等，以确保电梯公司具备合法的施工资格。
3. 考虑采取法律手段保护权益：如电梯公司拒绝补签合同或提供资质证明，业主可考虑向相关部门投诉或寻求法律帮助，以维护自身合法权益。

三. 案例分析

• 例如，在广西壮族自治区南宁市武鸣区人民法院审理的一起建设工程施工合同纠纷案件中，因电梯公司未取得特种设备（电梯）安装资质，导致与业主签订的合同无效。该案例提醒我们，在老旧小区加装电梯的项目中，选择具备合法资质的电梯公司并签订正式的书面合同是至关重要的。

我建议：业主在老旧小区加装电梯的项目中，应务必与电梯公司签订正式的书面合同，并仔细审查合同条款，确保自身权益得到充分保障。同时，也要关注电梯公司的资质情况，避免选择无资质或资质不全的公司进行施工。如有进一步需要，您可以继续咨询我。