被公司开除后，若公司存在违法解除劳动合同或无故辞退等情形，员工可以申请赔偿；若员工存在严重过错或试用期不符合录用条件，则公司无需支付赔偿。以下是对此问题的详细分析：

可以申请赔偿的情形

1. 违法解除劳动合同

   • 情形描述：公司违反《劳动合同法》规定，如无任何证据证明员工过错即单方面解除合同，或解除程序不符合法律规定（如未提前通知、未经工会程序）。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
   • 赔偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。赔偿金则为经济补偿标准的二倍。

2. 无故辞退

   • 情形描述：公司未提供合法、合理理由即辞退员工。
   • 赔偿标准：同样依据员工在公司的工作年限和工资水平确定经济补偿金，赔偿金计算方式同上。

3. 用人单位过错导致劳动者被迫解除合同

   • 情形描述：用人单位未提供劳动保护、未及时支付劳动报酬、未依法缴纳社会保险费等，导致劳动者被迫解除合同。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第三十八条及第四十六条，劳动者因用人单位过错解除劳动合同的，用人单位应支付经济补偿金。赔偿金计算方式同上。

无需赔偿的情形

1. 员工存在严重过错

   • 情形描述：员工严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，员工存在上述情形时，用人单位可解除劳动合同且无需支付经济补偿或赔偿金。

2. 试用期不符合录用条件

   • 情形描述：试用期内员工被证明不符合录用条件。
   • 法律依据：同样依据《劳动合同法》相关规定，试用期内不符合录用条件的员工可被辞退且无需支付经济补偿。

申请赔偿的步骤

1. 与公司沟通：首先尝试与公司沟通，了解被辞退原因并要求合理解释和补偿。
2. 收集证据：整理能证明员工表现、薪资待遇及公司违法解除合同的证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等。
3. 法律途径：若公司拒绝支付补偿或赔偿金，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自身合法权益。

建议：在面对公司开除时，员工应首先了解自己的权益和相关法律法规，以便在必要时采取合适的行动维护自身权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。