若公务员犯罪但检察机关决定不起诉，其处理方式需根据不起诉类型及具体情节综合判断，具体如下：

1. 法定不起诉（绝对不起诉）
   若公务员的行为不构成犯罪（如情节显著轻微、已过追诉时效等），检察机关会直接作出不起诉决定。此时：

   • 行政处理：根据《公务员法》第六十一条，公务员因涉嫌违法被调查期间，单位应暂停其履行职务；若最终不起诉，单位需根据调查结果决定是否恢复职务或给予处分（如警告、记过、降级等）。
     
   • 纪律追责：即使不起诉，若行为违反党纪或单位内部纪律（如贪污受贿但未达刑事标准），仍可能面临党纪处分（如警告、严重警告、撤销党内职务）或政务处分（如记过、记大过、开除）。
     

2. 酌定不起诉（相对不起诉）
   若公务员犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或免除刑罚（如初犯、自首、立功等），检察机关可作出不起诉决定。此时：

   • 行政与纪律双重追责：单位需依据《行政机关公务员处分条例》第十七条，结合具体情节给予处分（如降级、撤职、开除）；若涉及职务违法，可能同时面临政务处分。
     
   • 社会评价影响：不起诉决定虽不构成刑事犯罪，但可能影响公务员的晋升、评优等职业发展。
     

3. 存疑不起诉（证据不足不起诉）
   若现有证据不足以证明公务员构成犯罪，检察机关会作出不起诉决定。此时：

   • 补充侦查与再诉可能：若后续发现新证据，检察机关可重新提起公诉；公务员需持续配合调查。
     
   • 单位处理：单位通常暂停职务调查，待最终结论明确后决定是否恢复职务或处分；若长期无新证据，可能恢复职务但保留纪律监督。
     

关键提醒：

• 不起诉≠无责任，公务员仍可能面临行政处分、党纪处分或单位内部考核降级。
  
• 若对处理结果有异议，可通过单位内部申诉渠道或向上级纪检监察部门提出复核。
  

如有具体案件细节（如涉嫌罪名、不起诉类型等），可进一步向我说明，我会结合法律条文与实务经验为您详细分析。