针对您提出的“离职证明应该由发工资的单位开吗”这一问题，我可以给您一个清晰、详细且深入的解答。

首先，离职证明确实应当由用人单位开具。根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，有义务为劳动者出具解除或终止劳动合同的证明，也就是我们通常所说的离职证明。这一规定是明确的，且适用于所有用人单位，无论其是否为发工资的单位（在大多数情况下，发工资的单位即为用人单位）。

离职证明的作用非常广泛，它不仅是劳动者与用人单位解除或终止劳动关系的凭证，还关系到劳动者的工龄计算、失业金的领取、再就业权益的保障等多个方面。例如，在求职过程中，很多用人单位都会要求求职者提供上一份工作的离职证明，以验证其工作经历的真实性，并确保求职者与上一家公司不存在劳务关系或劳务纠纷。

如果用人单位拒绝为劳动者开具离职证明，劳动者有权向劳动行政部门投诉。劳动行政部门在接到投诉后，会责令用人单位改正。若因用人单位的拒绝行为给劳动者造成了损害（如无法顺利重新就业、无法申领失业金等），用人单位还应当承担相应的赔偿责任。

至于离职证明的具体内容，虽然《劳动合同法》并未做具体规定，但通常应包括劳动合同期限、解除或终止劳动合同的日期、工作岗位以及在本单位的工作年限等信息。这些信息对于劳动者后续的求职、社保关系转移、失业登记等都具有重要意义。

综上所述，离职证明应当由用人单位开具，且用人单位有义务在解除或终止劳动合同时为劳动者出具这一证明。如果用人单位拒绝开具，劳动者可以通过法律途径维护自己的权益。希望这一解答能够对您有所帮助。