老板没给店长签劳动合同，店长是可以申请仲裁的。以下从法律背景、法律建议及可能的法律后果几个方面进行详细分析：

一、法律背景

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。如果用人单位未与劳动者订立书面劳动合同，将面临一系列法律后果。

具体到店长这一职位，如果老板（即用人单位）未与店长签订书面劳动合同，那么这一行为已经违反了《劳动合同法》的规定。

二、法律建议

1. 收集证据： 店长在申请仲裁前，应尽可能收集与工作相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明自己与用人单位之间存在劳动关系。

2. 申请仲裁： 店长可以向当地劳动争议仲裁委员会提出仲裁申请，要求用人单位支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。根据《劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

3. 注意仲裁时效： 店长应注意仲裁时效的问题。根据《劳动争议调解仲裁法》第二十七条的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，店长应在知道或应当知道未签订劳动合同之日起一年内提出仲裁申请。

三、可能的法律后果

1. 用人单位支付双倍工资差额： 如果仲裁委员会认定用人单位未与店长签订书面劳动合同，那么用人单位可能需要支付店长未签订劳动合同期间的双倍工资差额。

2. 补签劳动合同： 仲裁委员会在裁决时，可能会要求用人单位与店长补签书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。

3. 其他法律责任： 除了支付双倍工资差额和补签劳动合同外，用人单位还可能面临其他法律责任，如被劳动行政部门责令改正、处以罚款等。

综上所述，如果老板没给店长签劳动合同，店长完全有权申请仲裁，并要求用人单位承担相应的法律责任。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。