事业编制当地政府没有权利私自取消职工编制。以下是对这一结论的详细分析：

一. 事业编制的管理权限

1. 不设党组的事业单位：这类事业单位往往不设党组，其人事的管理权限一般在其主管的行政机关，因此事业单位本身并没有开除事业编制干部的权力。

2. 设有党组的事业单位：虽然事业单位本身拥有完整的人事权，但也不能随意开除职工。如果单位的干部职工出现了违规违纪的情况，或者在工作中给单位造成了巨大的损失，影响地方的整体形象，单位党组可以根据情节的轻重，依据事业单位工作人员处分规定，给予编制人员一定的行政处分。然而，涉及到开除处分的，需要在纪检机关立案查出以后，并经集体讨论研究，报相关部门确定以后才可以，程序非常复杂。

二. 取消事业编制的法律后果

1. 事业单位的责任：事业单位擅自注销职工编制需承担不利后果。例如，在H管理中心与肖某的案例中，H管理中心在诉讼过程中自行注销相应编制，导致需要继续履行与肖某之间的人事聘用合同。

2. 职工的权益保护：对于侵害在编工作人员权利的行为，属于人事争议，职工可以向当地人事争议仲裁委员会申请仲裁。同时，如果事业单位未遵循合法程序和规定解雇职工，职工也有权通过法律途径维护自己的合法权益。

三. 事业编制的稳定性

1. 稳定性保障：事业编制通常被认为是一种相对稳定的工作，其稳定性得到了法律和政策的保障。事业单位在解雇工作人员时需要遵循相关法律法规和程序，确保合法合规。

2. 解雇的法定情形：事业单位可以解除聘用合同的情形包括但不限于：事业单位工作人员连续旷工超过15个工作日，或者1年内累计旷工超过30个工作日；事业单位工作人员年度考核不合格且不同意调整工作岗位，或者连续两年年度考核不合格；事业单位工作人员受到开除处分等。这些情形都明确规定了事业单位在解雇职工时必须遵循的法定条件和程序。

我的观点：当地政府没有权利私自取消事业编制职工的编制。事业编制的管理和取消都必须遵循严格的法律程序和规定，以确保职工的合法权益得到保障。如有进一步需要，您可以继续咨询我。