当您的医院合同到期且医院没有续签时，您可以按照以下步骤来处理这一问题：
首先，与医院进行沟通：
- 主动与医院的人事部门或相关负责人取得联系，明确提出合同已经到期的情况。
- 询问医院对于不续签合同但继续留用的具体安排和意向，要求其给出明确的说法，即是计划续签合同还是解除劳动关系。
- 在沟通过程中，务必保留好相关的证据，如聊天记录、谈话录音等，以备后续可能需要使用。
其次，根据沟通结果采取相应措施：
如果医院同意续签合同：
- 双方可以协商续签的具体条款和条件，确保合同内容符合双方的期望和需求。
- 签订新的劳动合同，并妥善保管好合同原件。
如果医院不同意续签合同但也不让离职：
- 在已经尝试过与医院沟通但无果的情况下，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对医院的用工情况进行监督检查，并会责令医院及时解决问题。
- 如果劳动监察部门的介入仍然无法解决问题，您可以考虑申请劳动仲裁。根据法律规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情形外，终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。在仲裁过程中，您可以要求医院支付相应的经济补偿，并明确双方劳动关系的状态。
最后，注意维护自身合法权益：
- 在整个处理过程中，要保持冷静和理性，避免采取过激行为。
- 合法维权是关键，要确保自己的行动符合法律法规的规定。
- 如果需要法律援助或咨询，可以寻求专业律师或法律机构的帮助。
总之，面对医院合同到期不续签的情况，您应该积极与医院沟通，并根据沟通结果采取相应的措施来维护自己的合法权益。