餐饮店若存在蟑螂问题，将可能面临一系列严重的法律后果，包括警告、罚款、责令停产停业，甚至吊销许可证。以下是对此问题的详细解答：

一、可能面临的处罚措施

1. 警告并责令整改：

   • 当卫生监管部门发现餐饮店有蟑螂问题时，首先会发出警告，并要求餐饮店立即采取措施进行整改，消除卫生隐患。

2. 罚款：

   • 若餐饮店未能在规定时间内有效整改，或卫生问题较为严重，监管部门将依法处以相应金额的罚款。根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，罚款金额可在五千元至五万元之间。

3. 责令停产停业：

   • 在情节特别严重的情况下，如蟑螂泛滥已对食品安全构成重大威胁，或多次被查出同样问题且未能有效整改，监管部门将责令餐饮店停产整顿，直至其达到卫生标准。

4. 吊销许可证：

   • 对于长期存在严重卫生问题且拒不整改的餐饮店，监管部门有权吊销其食品经营许可证或卫生许可证，意味着餐饮店将无法继续从事餐饮经营活动。

二、法律依据

• 《中华人民共和国食品安全法》第一百二十六条规定，食品生产经营过程不符合卫生要求的，可由县级以上人民政府食品安全监督管理部门责令改正，给予警告；拒不改正的，处五千元以上五万元以下罚款；情节严重的，责令停产停业，直至吊销许可证。
• 《公共场所卫生管理条例》也有相关规定，对于卫生质量不符合国家卫生标准和要求而继续营业的单位或个人，卫生防疫机构可给予警告、罚款、停业整顿、吊销“卫生许可证”的行政处罚。

三、建议与措施

1. 加强卫生管理：餐饮店应建立健全卫生管理制度，定期进行检查和清洁，确保食品安全和环境卫生。
2. 积极配合监管：餐饮店应积极配合卫生监管部门的监督和检查工作，及时整改存在的问题，避免不必要的法律风险和经济损失。
3. 提升员工意识：加强对员工的卫生知识培训，提高员工的卫生意识和操作技能，确保食品加工和服务的卫生安全。

综上所述，餐饮店应高度重视卫生问题，特别是蟑螂等害虫的防治工作。通过加强卫生管理、积极配合监管和提升员工意识等措施，确保食品安全和环境卫生，避免不必要的法律风险和经济损失。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。