当然可以申请劳动仲裁。针对你提出的“上班5年就第一年签了合同”的情况，我们可以从以下几个方面进行详细分析：

1. 劳动合同的签订与续签：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当签订书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
   • 在你的情况下，第一年签订了劳动合同，但之后四年未再续签，这并不意味着你与用人单位之间不存在劳动关系。实际上，即使未续签书面劳动合同，你与用人单位之间的劳动关系仍然继续存在。

2. 劳动仲裁的适用性：

   • 劳动仲裁是解决劳动争议的一种重要方式，适用于用人单位与劳动者之间因劳动关系的建立、履行、变更、解除或终止等发生的争议。
   • 在你的情况下，由于用人单位在后续四年中未与你续签书面劳动合同，你可以就此向劳动仲裁委员会提出仲裁申请，要求用人单位承担相应的法律责任。

3. 可能的仲裁结果：

   • 如果劳动仲裁委员会认定用人单位存在未与劳动者签订书面劳动合同的行为，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位可能需要向你支付二倍的月工资作为赔偿金（具体数额需根据实际情况计算）。
   • 此外，你还可以根据劳动仲裁的结果，要求用人单位与你补签书面劳动合同，或者解除劳动关系并支付相应的经济补偿。

综上所述，你完全有权就“上班5年就第一年签了合同”的情况向劳动仲裁委员会提出仲裁申请。在申请仲裁时，请务必准备好相关证据材料（如工作证明、工资记录等），以支持你的主张。如果你需要进一步的法律帮助或咨询，请随时联系我。