机关工会可以和企业进行共建活动。具体分析如下：

一. 共建活动的合法性与可行性

• 共建活动在法律上并没有明确的禁止性规定，且从实践来看，机关工会与企业开展共建活动是切实可行的。这类活动有助于增进机关工会与基层企业、工会党组织与企业党组织以及工会干部与企业职工之间的联系交流。
• 以市总工会机关与企业的党建共建活动为例，活动中通过宣讲党的精神、开展党建工作交流、赠送政治理论书籍、参观红色旧址与企业党建活动室等方式，有效搭建了互学互助的平台，共享了党建工作资源成果。

二. 共建活动的意义

• 增进联系交流：共建活动能够加深机关工会与基层企业之间的相互了解，促进双方的合作与交流。
• 提升服务能力：通过共建活动，机关工会干部可以更加深入地了解企业职工的需求，从而提升服务职工的能力。
• 推动工作融合：共建活动有助于推动党建工作与工会工作的深度融合，实现互相促进、共同发展的目标。

综上所述，机关工会与企业进行共建活动不仅是合法的，而且具有深远的意义。这类活动有助于加强双方的联系交流，提升服务能力，推动工作的深度融合。因此，我建议机关工会可以积极与企业开展共建活动，共同推动双方的发展与进步。如有进一步需要，您可以继续咨询我。