当您遇到签了合同并付了款，但对方迟迟不给开发票的情况时，您可以采取以下措施来解决问题：

一、与对方协商沟通

首先，建议您主动联系对方，明确指出其不开具发票的行为违反了相关法律法规（如《中华人民共和国发票管理办法》）和合同约定，要求其在合理期限内开具发票。在沟通过程中，保持冷静和礼貌，尽量通过书面方式（如邮件、短信等）留下沟通记录，以便后续跟进。

二、了解相关法律法规

在协商无果的情况下，您可以进一步了解相关法律法规，特别是关于发票开具和税收管理的规定。这将有助于您更准确地判断对方的义务和责任，并为后续采取法律措施提供有力支持。

三、向税务部门投诉

如果对方仍然拒绝开具发票，您可以向当地税务机关进行投诉。税务部门有权对对方的税务情况进行检查和监督，责令其限期改正并依法开具发票。同时，税务部门还可能对对方的违法行为进行相应处罚，从而维护您的合法权益。

四、通过法律途径解决

如果以上措施均未能解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。您可以依据购房合同和相关法律规定，向法院提起诉讼，要求对方履行开具发票的义务，并可主张因对方不开具发票给自己造成的损失赔偿。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来支持自己的诉求，如合同文本、付款凭证、沟通记录等。

五、注意事项

1. 在整个过程中，请务必保留好所有相关证据，包括合同、付款凭证、沟通记录等，以便在需要时提供证明。
2. 如果可能的话，您可以寻求专业律师的帮助，以便更好地了解自己的权益和采取合适的法律措施。
3. 请注意诉讼时效和管辖法院等相关法律规定，确保您的诉讼权利得到有效保障。

综上所述，当您遇到对方迟迟不给开发票的情况时，应首先尝试通过协商沟通解决问题。如果协商无果，您可以向税务部门投诉或采取法律途径来维护自己的权益。在整个过程中，请务必保留好相关证据并寻求专业帮助。