在您一个人带两个孩子出行时遭遇交通事故的情况下，向保险公司申请赔偿，主要可以从以下几个方面进行：

1. 明确赔偿范围：

   • 首先，您需要确认交通事故的责任归属。如果是对方的责任，那么您和孩子的医疗费用、车辆维修费用等损失应由对方或其保险公司承担。
   • 如果是您的责任，或者事故责任不明确，那么您将需要依据自己购买的保险种类（如交强险、商业险等）来确定赔偿范围和额度。

2. 收集证据材料：

   • 无论责任归属如何，您都应该及时收集现场照片、事故认定书、医院诊断书、治疗费用发票等证据材料。
   • 这些证据将作为您向保险公司申请赔偿的重要依据。

3. 联系保险公司：

   • 在收集完证据后，您应尽快联系自己购买的保险公司，告知事故情况，并提交相关证据材料。
   • 保险公司会根据您提供的证据和保险条款来确定赔偿金额。

4. 协商赔偿事宜：

   • 保险公司可能会提出初步的赔偿方案。如果您对赔偿金额或方式有异议，可以与保险公司进行协商。
   • 在协商过程中，您可以依据自己收集的证据和法律规定来争取更合理的赔偿。

5. 注意法律时效：

   • 请注意，向保险公司申请赔偿有一定的时效限制。您应在规定的时间内提交赔偿申请，并积极配合保险公司的调查工作。

6. 特殊情况的赔偿：

   • 如果您的孩子因事故受到了严重的精神伤害或留下了后遗症，您还可以考虑申请精神损害赔偿或后续治疗费用的赔偿。
   • 这些赔偿项目需要您提供更详细的证据和医疗报告来支持。

在整个赔偿过程中，如果您遇到任何困难或疑问，都可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和指导。