私自砍伐公路旁树木1棵，这一行为确实涉及到了法律责任。以下是对此行为可能面临的处罚的详细解答：

首先，需要明确的是，私自砍伐公路旁的树木是违法的。这些树木通常属于公共财产或受保护的自然资源，未经许可擅自砍伐将构成违法行为。

对于具体的处罚，它主要取决于被砍伐树木的种类、价值以及砍伐行为的情节严重程度。

1. 若所砍树木非珍贵、非国家重点保护植物：

   • 一般情况下，根据《治安管理处罚法》，私自砍伐者可能会被拘留5至10日，并处以500元以下的罚款。
   • 若情节较为严重，如砍伐行为造成了较大影响或损失，拘留时间可能会延长至10至15日，并处以1000元以下的罚款。

2. 若所砍树木为珍贵树木或国家重点保护植物：

   • 这种情况下，私自砍伐行为可能触犯《刑法》，构成非法采伐、毁坏国家重点保护植物罪。
   • 具体量刑会综合考虑树木的种类、价值、砍伐行为的情节以及砍伐者的主观恶意等因素。
   • 除了可能的刑事责任外，砍伐者还需承担民事赔偿责任，赔偿树木所有者或相关管理机构的损失。

此外，无论砍伐的树木是否珍贵，私自砍伐行为都可能对生态环境造成破坏，因此砍伐者还可能面临生态环境修复或补偿的责任。

综上所述，私自砍伐公路旁树木1棵的行为是违法的，并可能面临行政处罚、刑事责任以及民事赔偿责任。因此，建议公众应遵守相关法律法规，保护公共财产和自然资源，避免擅自砍伐树木。