随意砍伐公路两侧树木的处罚需根据砍伐树木的性质、数量及行为人主观意图等因素综合判断，可能涉及行政处罚或刑事处罚，具体分析如下：

1. 若砍伐的是普通公路两侧的普通树木

   • 行政处罚：根据《公路安全保护条例》第二十六条，禁止破坏公路、公路用地范围内的绿化物。若砍伐行为未构成犯罪，但违反了地方性法规或行政规章（如《城市绿化条例》或地方公路管理条例），可能面临行政处罚，包括责令停止违法行为、补种树木、罚款等。罚款金额通常根据树木价值、砍伐数量及造成的损失确定，可能从几百元至数万元不等。
     
   • 民事赔偿：若砍伐行为导致公路管理部门或第三方财产损失（如树木价值、绿化修复费用等），行为人还需承担民事赔偿责任。

2. 若砍伐的是受保护的树木（如古树名木、防护林、生态公益林等）

   • 刑事处罚：若砍伐的树木属于国家重点保护植物（如古树名木、列入《国家重点保护野生植物名录》的树木），或砍伐数量达到刑事立案标准（如滥伐林木罪中“数量较大”的标准，通常为10立方米或幼树500株以上），可能构成《刑法》第三百四十四条规定的“危害国家重点保护植物罪”或第三百四十五条规定的“滥伐林木罪”，面临三年以下有期徒刑、拘役或管制，并处罚金；情节严重的（如数量巨大），可能面临三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
     
   • 行政处罚与民事赔偿：即使未达到刑事立案标准，仍可能面临行政处罚（如罚款、没收违法所得）及民事赔偿。

3. 若砍伐行为涉及其他违法情节

   • 如未经许可擅自砍伐：即使树木不属于重点保护对象，若未取得林业主管部门或公路管理部门的砍伐许可，可能违反《森林法》或地方公路管理法规，面临行政处罚。
     
   • 如砍伐行为导致公共安全事件：如砍伐树木导致公路设施损坏、交通事故等，可能同时构成“破坏交通设施罪”或其他相关犯罪，需承担更严重的刑事责任。

建议：

• 砍伐公路两侧树木前，务必确认树木性质（是否受保护）、所有权归属，并依法办理砍伐许可手续。
  
• 若对树木性质或砍伐程序有疑问，可向当地林业主管部门或公路管理机构咨询，避免因无知导致违法。
  
• 若已发生砍伐行为，建议立即停止并主动向相关部门说明情况，争取从轻处理；若涉及刑事犯罪，应尽快委托律师介入，依法维护权益。
  

如有具体案件或疑问，可进一步向我咨询，我会结合案件细节提供更精准的分析。